1.（教材P49例5变式）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$为$AB$的中点，且$CA=CD$，则$∠ B$的度数为（
A
）
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$65°$
答案：1. A
解析：
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，结合题干中直角三角形+斜边中点的条件，优先想到运用直角三角形斜边上中线的性质，得到CD与AD、BD的数量关系；第二步，结合已知CA=CD，推导得出△ACD的三边相等，判定其为等边三角形，即可求出∠A的度数；第三步，利用直角三角形两锐角互余的性质，计算得出∠B的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=AD=BD。
又
∵CA=CD，
∴CA=CD=AD，即△ACD是等边三角形，
∴∠A=60°。
∵在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何基础角度计算题，解题的核心是灵活运用直角三角形斜边上中线的性质得到线段相等关系，进而结合等边三角形的性质推导角度，整体逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=16\ \mathrm{cm}$，$D$是$AB$的中点. 现将$△ BCD$沿$BA$方向平移$2\ \mathrm{cm}$，得到$△ EFG$，$FG$交$AC$于点$H$，则$GH$的长为
6
$\mathrm{cm}$.
答案：2. 6
解析：
【分析】
解题时首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AD、CD的长度；再结合平移的性质得到FG//CD和平移距离GD的长度；最后通过平行线的性质、等边对等角推导得到∠A=∠AHG，利用等角对等边得到GH=AG，计算AG的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AB=16cm，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：
$AD=CD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$，
∴∠A=∠ACD（等边对等角），
∵△BCD沿BA方向平移2cm得到△EFG，
∴FG//CD，平移距离$GD=2\ \mathrm{cm}$，
∴∠AHG=∠ACD（两直线平行，同位角相等），
∴∠A=∠AHG（等量代换），
∴$GH=AG$（等角对等边），
又
∵$AG=AD-GD=8-2=6\ \mathrm{cm}$，
∴$GH=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；平移的性质；等腰三角形判定
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查各性质的灵活运用，解题的突破口是找到角的等量关系推导出GH和AG的相等关系，是平移和直角三角形结合的典型考题。
【难度系数】
0.6
3. (2026·江苏南京期中)如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的高,BE是边AC上的中线,$BD=CE,DF ⊥ BE$于点F.
(1) 求证:$BF=EF$;
(2) 若$∠ AEB=72°$,求$∠ EBC$的度数.
答案：3. (1) 由题意,得$AD⊥BC$,E 为 AC 的中点,所以$AE=CE=DE=\frac{1}{2}AC$. 因为$BD=CE$,所以$BD=DE$. 又$DF⊥BE$,所以$BF=EF$.
(2) 由(1),得$BD=DE=CE$,所以$∠EBC=∠DEB$,$∠EDC=∠C$. 因为$∠EDC=∠EBC+∠DEB$,$∠AEB=∠C+∠EBC$,所以$∠AEB=3∠EBC$. 又$∠AEB=72°$,所以$∠EBC=24°$.
解析：
【分析】
(1) 要证BF=EF，已知DF⊥BE，只需证明△BDE为等腰三角形即可。首先AD是BC边上的高，可得△ADC是直角三角形，BE是AC中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可推出DE=CE，结合已知BD=CE，等量代换得BD=DE，再利用等腰三角形三线合一的性质就能证出BF=EF。
(2) 求∠EBC的度数，可通过等边对等角和三角形外角性质推导角度关系：由BD=DE得∠EBC=∠DEB，由DE=CE得∠EDC=∠C，再结合外角性质可知∠EDC=2∠EBC，即∠C=2∠EBC，而∠AEB是△BEC的外角，可推出∠AEB=3∠EBC，代入已知角度即可求解。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，△ADC为直角三角形。
∵BE是边AC上的中线，
∴E为AC的中点，
∴DE是Rt△ADC斜边上的中线，即$AE=CE=DE=\frac{1}{2}AC$。
∵$BD=CE$，
∴$BD=DE$，△BDE为等腰三角形。
又
∵$DF⊥BE$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得F是BE中点，即$BF=EF$。
(2) 解：由(1)可知$BD=DE=CE$，
根据等边对等角得：$∠EBC=∠DEB$，$∠EDC=∠C$。
∵∠EDC是△BDE的外角，
∴$∠EDC=∠EBC+∠DEB=2∠EBC$，
∴$∠C=2∠EBC$。
∵∠AEB是△BEC的外角，
∴$∠AEB=∠EBC+∠C$，
将$∠C=2∠EBC$代入得：$∠AEB=∠EBC+2∠EBC=3∠EBC$。
已知$∠AEB=72°$，
∴$3∠EBC=72°$，解得$∠EBC=24°$。
【答案】
(1) BF=EF得证；(2) $\boxed{24°}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题关键是利用直角三角形斜边中线性质得到相等线段，再结合等腰三角形和三角形外角的性质推导边、角关系，能够很好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
4. 亮点原创·如图，在等边三角形ABC中，AD是角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC。若∠ABE=15°，△EBC的面积是9，则BC的长是（
C
）
A.3
B.4
C.6
D.4.5
（第4题）
答案：4. C 解析:由题意,得 AD 垂直平分 BC,$∠ABC=60°$,所以 $BE = CE$, $AD ⊥ BC$, D 是 BC 的中点,即$∠BCE=∠CBE$. 因为$∠ABE=15°$,所以$∠CBE=∠ABC - ∠ABE = 45°$,即 $∠BCE = 45°$. 所以$∠BEC = 180° - ∠BCE - ∠CBE = 90°$,即 $DE = \frac{1}{2} BC$. 又$△EBC$ 的面积是 9,且 $S_{△EBC}=\frac{1}{2} BC · DE$,所以$\frac{1}{2} BC · \frac{1}{2} BC =9$,即 $BC^2=36$. 又$(±6)^2=36$,所以 $BC=6$(负值已舍去). 则 BC 的长是 6.
解析：
【分析】
拿到这道题首先从已知条件入手：①△ABC是等边三角形，可推出内角为60°，且角平分线、中线、高三线合一；②AD是角平分线，因此AD垂直平分BC，可得EB=EC，△EBC是等腰三角形。接下来结合∠ABE=15°可算出∠CBE的度数，进而判断△EBC的形状，再结合三角形面积公式列方程即可求出BC的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠ABC=60°，
∴BE=CE，AD⊥BC，D为BC中点，
∴∠BCE=∠CBE。
∵∠ABE=15°，
∴∠CBE=∠ABC - ∠ABE=60°-15°=45°，
∴∠BCE=45°，
∴∠BEC=180°-45°-45°=90°，即△BEC是等腰直角三角形。
∵D是BC中点，Rt△BEC中斜边中线等于斜边一半，
∴DE=½BC。
已知$S_{△EBC}=9$，且$S_{△EBC}=\frac{1}{2}·BC·DE$，
将DE=½BC代入得：$\frac{1}{2}·BC·(\frac{1}{2}BC)=9$，
化简得$\frac{1}{4}BC^2=9$，即$BC^2=36$，
∵BC为线段长度，是正数，
∴BC=6。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是灵活运用等边三角形三线合一的性质，推导得出△EBC为等腰直角三角形，再结合直角三角形斜边中线的性质和三角形面积公式求解，侧重考查学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在$△ ABC$中，D是BC上一点，$AB=AD$，E，F分别是AC，BD的中点.若$EF=2$，则AC的长是
4
.
答案：5. 4 解析:连接 AF. 因为 $AB=AD$,F 是 BD 的中点,所以 $AF⊥BD$,即 $AF⊥BC$. 所以$∠AFC=90°$. 又 E 是 AC 的中点,所以 $EF=\frac{1}{2} AC$. 又 $EF=2$,所以 $AC=4$.
解析：
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知AB=AD，F是BD中点，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此优先考虑连接AF，可得AF垂直于BC，即△AFC为直角三角形；再结合E是AC中点的条件，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，即可建立EF和AC的数量关系，代入EF的长度就能求出AC的长。
【解析】
解：连接AF。
∵ $AB=AD$，F是BD的中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AF⊥BD$，即$∠ AFC=90°$，$△ AFC$是直角三角形。
又
∵ E是AC的中点，在$\mathrm{Rt}△ AFC$中，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴ $EF=\frac{1}{2}AC$。
已知$EF=2$，
∴ $AC=2EF=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是合理构造辅助线，结合等腰三角形和直角三角形的性质推导线段间的数量关系，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
6.（2026·江苏苏州期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，连接BD，BE，DE.
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠BCD=
150
°时，△BED是等边三角形；
（3）当∠ADE+∠ABE=45°时，若BD=5，取BD的中点F，求EF的长.
答案：6. (1) 因为$∠ABC=∠ADC=90°$,E 是边 AC 的中点,所以 $BE=\frac{1}{2} AC$,$DE=\frac{1}{2} AC$,即 $BE=DE$. 所以$△BED$ 是等腰三角形.
(2) 150 解析:因为$∠ABC=∠ADC=90°$,E 是边 AC 的中点,所以 $AE=CE=BE=DE=\frac{1}{2} AC$,即$∠ADE=∠DAE$,$∠ABE=∠BAE$. 因为$∠DAE+∠ADE = ∠DEC$,$∠ABE + ∠BAE = ∠BEC$,$∠DAB = ∠DAE + ∠BAE$,$∠DEB = ∠DEC + ∠BEC$,所以$∠DAB=\frac{1}{2} ∠DEB$. 因为$△BED$ 是等边三角形,所以$∠DEB=60°$,即$∠BAD=30°$. 所以$∠BCD=360°-∠ADC-∠ABC-∠BAD=150°$.
(3) 同(2),得 $BE=DE$,$∠ADE=∠DAE$,$∠ABE=∠BAE$,$∠DEB=2∠DAB$. 又$∠DAB=∠DAE+∠BAE$,$∠ADE+∠ABE=45°$,所以$∠DAB=45°$,即$∠DEB=90°$. 因为 F 为 BD 的中点,所以 $EF=\frac{1}{2} BD$. 又 $BD=5$,所以 $EF=\frac{5}{2}$.
解析：
【分析】
（1）要证△BED为等腰三角形，需证两条边相等。已知∠ABC、∠ADC均为直角，E是AC中点，可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，推出BE和DE均为AC的一半，即可证BE=DE得到结论。
（2）△BED已经是等腰三角形，要使其为等边三角形，需顶角∠DEB=60°。先通过等边对等角、三角形外角性质推出∠DEB=2∠DAB，可求出∠DAB=30°，再结合四边形内角和为360°，减去已知的两个直角和∠DAB的度数，即可求出∠BCD的度数。
（3）沿用（2）的角度推导逻辑，由∠ADE+∠ABE=45°推出∠DAB=45°，进而得到∠DEB=90°，即△BED是等腰直角三角形。再根据等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线的性质，F是BD中点，可得EF为BD的一半，代入BD长度即可求出结果。
【解析】
（1）证明：
∵$∠ ABC=∠ ADC=90°$，E是AC的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$BE=\frac{1}{2}AC$，$DE=\frac{1}{2}AC$，
∴$BE=DE$，
∴$△ BED$是等腰三角形。
（2）解：
∵$∠ ABC=∠ ADC=90°$，E是AC的中点，
∴$AE=CE=BE=DE=\frac{1}{2}AC$，
∴$∠ ADE=∠ DAE$，$∠ ABE=∠ BAE$，
∵$∠ DEC$是$△ ADE$的外角，
∴$∠ DEC=∠ ADE+∠ DAE=2∠ DAE$，
同理$∠ BEC$是$△ ABE$的外角，
∴$∠ BEC=∠ ABE+∠ BAE=2∠ BAE$，
∴$∠ DEB=∠ DEC+∠ BEC=2(∠ DAE+∠ BAE)=2∠ DAB$，
若$△ BED$是等边三角形，则$∠ DEB=60°$，
∴$∠ DAB=\frac{1}{2}∠ DEB=30°$，
∵四边形ABCD内角和为$360°$，
∴$∠ BCD=360°-∠ ADC-∠ ABC-∠ DAB=360°-90°-90°-30°=150°$。
（3）解：由（2）的推导可知$BE=DE$，$∠ DEB=2∠ DAB$，且$∠ ADE=∠ DAE$，$∠ ABE=∠ BAE$，
∵$∠ ADE+∠ ABE=45°$，
∴$∠ DAE+∠ BAE=45°$，即$∠ DAB=45°$，
∴$∠ DEB=2×45°=90°$，即$△ BED$是等腰直角三角形，
∵F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$EF=\frac{1}{2}BD$，
∵$BD=5$，
∴$EF=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boxed{150}$；（3）$\boxed{\frac{5}{2}}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、等腰（等边）三角形判定与性质、四边形内角和定理
【点评】
本题围绕直角三角形斜边中线的性质展开，综合考察等腰、等边三角形的判定与性质以及角度转化的能力，解题的关键是熟练掌握相关几何性质，理清角与角、边与边之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
7. (2026·江苏泰州期中)如图，∠MON=90°,Rt△ABC的顶点A,B分别在OM,ON上，∠ACB=90°,点A从点O出发沿射线OM运动，同时点B从点O出发沿射线ON运动，连接OC.若AB=5，则OC的长的最大值是
5
.
答案：7. 5 解析:取线段 AB 的中点 D,连接 OD,CD. 因为$∠MON=90°$,所以 $∠AOB = 90°$. 所以 $OD =\frac{1}{2} AB$. 同理,得 $CD=\frac{1}{2} AB$. 又 $AB=5$,所以 $OD=CD=\frac{5}{2}$. 又$OC≤OD+CD=5$,所以当 O,D,C 三点共线时,OC 的长取最大值,且最大值是 5.
解析：
【分析】
本题为几何最值问题，已知有两个共斜边的直角三角形Rt△AOB和Rt△ABC，且斜边AB为定值。首先结合直角三角形的相关性质，可想到取AB的中点构造斜边上的中线，即可得到两条长度为定值的线段OD、CD；再根据三角形三边关系可知，OC的长度不会超过OD与CD的和，当O、D、C三点共线时，OC的长度等于OD与CD的和，此时OC取得最大值。
【解析】
取线段AB的中点D，连接OD、CD。
∵ ∠MON=90°，即∠AOB=90°，D是Rt△AOB斜边AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$OD=\frac{1}{2}AB$。
同理，∠ACB=90°，D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB$。
已知AB=5，代入得$OD=CD=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
根据三角形三边关系，在△ODC中，$OC≤ OD+CD$（当且仅当O、D、C三点共线时等号成立），
∴ $OC≤ \frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5$，即OC的最大值为5。
【答案】
5
【知识点】
1. 直角三角形斜边上的中线性质
2. 三角形三边关系
【点评】
本题是几何最值类的典型题型，解题核心是通过构造直角三角形斜边上的中线，将未知的线段最值转化为两条定长线段的和，利用三点共线时等号成立求解，可很好地考查对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
