【分析】
等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，本题没有明确说明“一个角”和“另一个角”是顶角还是底角，也没有明确哪两个角是相等的底角，因此需要分三类讨论：①两个相等的角分别是x和2x-20°；②x和第三个角是相等的底角；③2x-20°和第三个角是相等的底角。分别列方程求解后，验证所得角度符合三角形内角取值要求即可确定顶角的度数。
【解析】
设两个角的度数分别为$x$、$2x-20°$，则第三个角的度数为$180°-x-(2x-20°)=200°-3x$，结合等腰三角形两底角相等的性质，分类讨论如下：
1. 当$x=2x-20°$时，解得$x=20°$，则第三个角为$200°-3×20°=140°$，此时三角形三个内角为$20°、20°、140°$，顶角为$140°$；
2. 当$x=200°-3x$时，解得$x=50°$，则$2x-20°=2×50°-20°=80°$，此时三角形三个内角为$50°、50°、80°$，顶角为$80°$；
3. 当$2x-20°=200°-3x$时，解得$x=44°$，则$2x-20°=2×44°-20°=68°$，此时三角形三个内角为$44°、68°、68°$，顶角为$44°$。
以上三种情况均符合三角形内角和定理。
【答案】
$140°$或$80°$或$44°$
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，核心易错点是容易遗漏分类讨论的情况，解题时需注意：题干未明确角的身份时，要对相等的底角的所有可能情况逐一讨论，求出角度后还要验证是否满足三角形内角的取值要求，避免出现错解、漏解。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质，通过两次分类讨论求解：第一步先对等腰$△ ABC$中$40°$的内角进行分类，判断其是顶角还是底角，计算出$∠ B$的度数；第二步对$\mathrm{Rt}△ ABD$的直角顶点位置进行分类，同时注意点$D$在直线$BC$上（包含线段$BC$及$BC$的延长线），结合三角形内外角的性质分别计算$∠ ADC$的度数，最后汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C$，分两种情况讨论$△ ABC$的内角：
情况1：若$40°$是等腰$△ ABC$的底角，即$∠ B=∠ C=40°$，此时顶角$∠ BAC=180°-40°×2=100°$，再对$\mathrm{Rt}△ ABD$的直角分类：
（1）当直角顶点为$A$，即$∠ BAD=90°$，$D$在线段$BC$上（对应图①）：
根据三角形外角的性质，$∠ ADC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD=40°+90°=130°$；
（2）当直角顶点为$D$，即$∠ ADB=90°$，$D$在线段$BC$上（对应图②）：
$\because B、D、C$共线，$∠ ADB+∠ ADC=180°$，$\therefore ∠ ADC=180°-90°=90°$；
情况2：若$40°$是等腰$△ ABC$的顶角，即$∠ BAC=40°$，此时底角$∠ B=∠ C=(180°-40°)÷2=70°$，再对$\mathrm{Rt}△ ABD$的直角分类：
（1）当直角顶点为$D$，即$∠ ADB=90°$，$D$在线段$BC$上（对应图③）：
同理，$∠ ADC=180°-∠ ADB=180°-90°=90°$；
（2）当直角顶点为$A$，即$∠ BAD=90°$，此时$D$在$BC$的延长线上（对应图④）：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B+∠ ADC=90°$，$\therefore ∠ ADC=90°-∠ B=90°-70°=20°$；
综上，$∠ ADC$的度数为$130°$或$90°$或$20°$。
【答案】
$130°$或$90°$或$20°$
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内外角定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，易错点为忽略$40°$内角可作顶角也可作底角、直角顶点位置不唯一、点$D$在直线$BC$上包含延长线这几个分类点，解题时需逐一列举所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题是结合新定义的等腰三角形计算题，解题思路如下：首先理解“4倍边等腰三角形”的含义，即等腰三角形两边存在4倍关系，因此需要分两种情况讨论：①较短边为腰，较长边为底；②较长边为腰，较短边为底。每种情况都要先根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断是否能构成三角形，排除不成立的情况后，再结合周长为18cm列方程求解，最终得到底边长。
【解析】
设该等腰三角形的较短边长为$x\ \mathrm{cm}(x＞0)$，则较长边长为$4x\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 当$x\ \mathrm{cm}$为腰长，$4x\ \mathrm{cm}$为底边长时：
两腰之和为$x+x=2x$，因为$2x＜4x$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，因此这种情况无法构成三角形，舍去；
② 当$4x\ \mathrm{cm}$为腰长，$x\ \mathrm{cm}$为底边长时：
两腰之和为$4x+4x=8x$，显然$8x＞x$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
已知等腰三角形周长为18cm，可列方程：
$4x+4x+x=18$
合并同类项得$9x=18$，解得$x=2$，即底边长为2cm。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查等腰三角形的相关计算，解题的关键是对边的身份进行分类讨论，尤其要注意在得到边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免忽略限制条件导致错选多解。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先根据等腰△ABC的顶角度数求出两个底角∠A、∠B的度数。由于△CDE是等腰三角形且未明确腰和底边，因此需要分CD=CE、DE=CE、CD=DE三种情况讨论。我们可以设∠ACD=x，用含x的式子表示出△CDE的各个内角，再结合不同等腰情况的等角关系列方程求解，最后根据点D不与A、B重合的条件排除不符合题意的解，即可求出对应的∠ADC的度数。
【解析】
设$∠ ACD=x$，
$\because AC=BC$，$∠ ACB=120°$，
$\therefore ∠ A=∠ B=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=30°$，$∠ DCE=∠ ACB-∠ ACD=120°-x$。
根据三角形外角的性质，$∠ BDC=∠ A+∠ ACD$，同时$∠ BDC=∠ BDE+∠ CDE$，已知$∠ CDE=30°$，
$\therefore 30°+x=∠ BDE+30°$，解得$∠ BDE=x$。
再由三角形外角的性质可得$∠ CED=∠ BDE+∠ B=30°+x$。
$△ CDE$为等腰三角形，分三种情况讨论：
1. 当$CD=CE$时，$∠ CDE=∠ CED$，即$30°=30°+x$，解得$x=0°$，此时点D与点A重合，不符合题意，舍去；
2. 当$DE=CE$时，$∠ CDE=∠ DCE$，即$30°=120°-x$，解得$x=90°$，
在$△ ACD$中，$∠ ADC=180°-∠ A-∠ ACD=180°-30°-90°=60°$；
3. 当$CD=DE$时，$∠ DCE=∠ CED$，即$120°-x=30°+x$，解得$x=45°$，
在$△ ACD$中，$∠ ADC=180°-∠ A-∠ ACD=180°-30°-45°=105°$。
综上，$∠ ADC$的度数是$60°$或$105°$。
【答案】
$60°$或$105°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时要注意：若等腰三角形未明确腰和底边，必须分情况讨论，求出结果后还要结合题目的限制条件验证解的合理性，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先要明确等腰三角形需按角分为锐角、直角、钝角三类讨论：先利用直角三角形两锐角互余求出底角的度数，再结合等腰三角形两底角相等的性质计算顶角度数，最后验证每种情况是否符合已知的夹角条件，排除不符合的情况即可得到结果。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时：
已知$AB=AC$，$BD⊥ AC$（BD是腰AC上的高），$∠ CBD=35°$。
在$Rt△ BDC$中，$∠ BDC=90°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ C=90°-∠ CBD=90°-35°=55°$。
因为$AB=AC$，等腰三角形两底角相等，所以$∠ ABC=∠ C=55°$。
根据三角形内角和为$180°$，顶角$∠ A=180°-∠ ABC-∠ C=180°-55°×2=70°$，符合锐角三角形的条件。
2. 当等腰三角形为直角三角形时：
一腰上的高与另一腰重合，此时高与底边的夹角为$45°$，与题干中$35°$的条件矛盾，排除该情况。
3. 当等腰三角形为钝角三角形时：
顶角为钝角，腰AC上的高BD落在三角形外部，同理可得底角$∠ C=90°-35°=55°$，此时计算得顶角度数为$180°-2×55°=70°$，为锐角，与钝角三角形的设定矛盾，排除该情况。
综上，该等腰三角形顶角的度数为$70°$，答案选A。
【答案】
A

【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，核心考查分类讨论思想，解题时容易忽略对三角形类型的验证，误选含$20°$的选项，需注意计算后要结合分类前提判断是否符合题意，避免多解。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形的性质和中线的定义，由于题目未说明周长被分成的两部分哪部分更长，因此需要分类讨论：①腰长与半腰长的和比底边长与半腰长的和大3；②腰长与半腰长的和比底边长与半腰长的和小3。我们可以通过设腰长和底边长为未知数，结合周长条件列方程组求解，最后还要验证解出的三边长是否满足三角形三边关系，排除不能构成三角形的情况。
【解析】
设该等腰三角形的腰长为 $x$，底边长为 $y$。
根据等腰三角形周长为24，可得方程：$2x+y=24$。
由于一腰上的中线把周长分成差为3的两部分，分两种情况讨论：
情况1：包含腰的部分周长更长，列方程组：
$\begin{cases}2x+y=24\\x+\frac{x}{2}=y+\frac{x}{2}+3\end{cases}$
化简第二个方程得$x-y=3$，联立解得 $\begin{cases}x=9\\y=6\end{cases}$，此时三边长为9、9、6，满足三角形三边关系。
情况2：包含底边的部分周长更长，列方程组：
$\begin{cases}2x+y=24\\x+\frac{x}{2}=y+\frac{x}{2}-3\end{cases}$
化简第二个方程得$y-x=3$，联立解得 $\begin{cases}x=7\\y=10\end{cases}$，此时三边长为7、7、10，满足三角形三边关系。
两种情况均符合题意。
【答案】
6或10
【知识点】
等腰三角形的性质；分类讨论思想；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形中典型的分类讨论题型，解题的关键是根据两部分周长的大小关系分情况列方程，同时要注意求出边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免出现增解。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决本题需要结合等腰三角形的性质做分类讨论：首先明确等腰三角形的腰和底未指明时，需分三种情况讨论边的相等关系：OA=OB、OA=AB、OB=AB；其中OA=OB时，点B可位于直线a的上方或下方，要再细分两种情况，最后结合等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形内角和定理，分别计算每种情形下∠OAB的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
以O、A、B三点为顶点的三角形是等腰三角形，分三类情况计算：
1. 当$OA=OB$时，由等边对等角得$∠OAB=∠OBA$：
若点B在直线a上方，此时$∠1$是等腰$△ OAB$的顶角，根据三角形内角和为$180{°}$，得$∠OAB=\frac{1}{2}×(180{°}-50{°})=65{°}$；
若点B在直线a下方，此时$∠1$是等腰$△ OAB$的外角，等于两个底角之和，即$∠1=∠OAB+∠OBA$，得$∠OAB=\frac{1}{2}×50{°}=25{°}$。
2. 当$OA=AB$时，由等边对等角得$∠OBA=∠1=50{°}$，根据三角形内角和为$180{°}$，得$∠OAB=180{°}-2×50{°}=80{°}$。
3. 当$OB=AB$时，由等边对等角得$∠OAB=∠1=50{°}$。
【答案】
$25{°}$或$50{°}$或$65{°}$或$80{°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是根据腰的不同对应关系分类讨论，同时要考虑动点的位置可能性，避免漏解，能很好地考查思维的严谨性。
【难度系数】
0.5

【分析】
首先根据△ABC中AB=BC、∠ABC=100°，先求出两个底角∠BAC、∠BCA的度数。再由旋转的性质可得BD=AB，因此BD=AB=BC，即△ABD、△BCD均为等腰三角形。已知△ACD为等腰三角形，未明确腰和底时需分类讨论，分AC=AD、AC=CD、AD=CD三种情况，每种情况利用等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形内角和定理、角度和差关系逐步推导，求出∠ABD也就是m的度数，最后验证是否符合0＜m＜180的范围即可。
【解析】
解：
∵$AB=BC$，$∠ABC=100°$，
∴$∠BAC=∠BCA=\frac{1}{2}(180°-∠ABC)=40°$。
由旋转的性质可知，$AB=BD$，$∠ABD=m°$，
∴$BD=BC$，$∠BAD=∠BDA$，$∠BCD=∠BDC$。
∵$△ACD$为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
① 当$AC=AD$时，$∠ADC=∠ACD$，
∵$∠ACD=∠BCA+∠BCD$，$∠ADC=∠BDA+∠BDC$，且$∠BCD=∠BDC$，
∴$∠BDA=∠BCA=40°$，即$∠BAD=40°$，
在$△ABD$中，$∠ABD=180°-∠BDA-∠BAD=180°-40°-40°=100°$，即$m=100$；
② 当$AC=CD$时，$∠CAD=∠ADC$，
∵$∠CAD=∠BAC+∠BAD$，$∠ADC=∠BDA+∠BDC$，且$∠BAD=∠BDA$，
∴$∠BDC=∠BAC=40°$，即$∠BCD=40°$，
在$△BCD$中，$∠CBD=180°-∠BDC-∠BCD=180°-40°-40°=100°$，
∵点B处周角为$360°$，即$∠ABC+∠ABD+∠CBD=360°$，
∴$∠ABD=360°-100°-100°=160°$，即$m=160$；
③ 当$AD=CD$时，$∠CAD=∠ACD$，
∵$∠CAD=∠BAC+∠BAD$，$∠ACD=∠BCA+∠BCD$，且$∠BAC=∠BCA=40°$，
∴$∠BAD=∠BCD$，即$∠BDA=∠BAD=∠BCD=∠BDC$，
∵$△ACD$内角和为$180°$，即$∠BAC+∠BCA+∠BAD+∠BDA+∠BCD+∠BDC=180°$，
∴$∠BAD=∠BDA=\frac{1}{4}×(180°-40°-40°)=25°$，
在$△ABD$中，$∠ABD=180°-25°-25°=130°$，即$m=130$。
综上，m所有可能的取值为100或130或160。
【答案】
100或130或160
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.旋转的性质
3.三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形的综合应用题，解题核心是对等腰三角形的腰长进行分类讨论，避免漏解，同时需要熟练掌握角度的和差转化、旋转的性质等知识点，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

【分析】
（1）要证明AE是△ABC的等腰分割线，需证明AE分割得到的△EAB和△EAC均为等腰三角形。首先根据线段垂直平分线的性质可得EA=EC，证得△EAC是等腰三角形；再利用三角形外角性质推出∠AEB=2∠C，结合已知∠B=2∠C，可证得∠AEB=∠B，得到△EAB为等腰三角形，即可完成证明。
（2）已知AD为等腰分割线，故△ABD和△ACD均为等腰三角形，且AD=BD、∠C=30°，需对△ACD的等腰类型分类讨论：分别讨论AD=CD、AC=AD、AC=CD三种情况，结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形内角和与外角性质分别计算∠B的度数，同时画出对应图形即可。
【解析】
（1）证明：
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C。
根据三角形外角的性质，∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
又
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条等腰分割线。
（2）解：
∵AD为△ABC的等腰分割线，∠C=30°，
∴△ABD和△ACD都是等腰三角形，已知AD=BD，分三种情况讨论：
① 如图①，当AD=CD时，AD=CD=BD，
∴∠CAD=∠C=30°，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=60°，
又
∵AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠B=60°；
② 如图②，当AC=AD时，AD=BD=AC，
∴∠ADC=∠C=30°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
又
∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴$∠ B=\frac{1}{2}∠ ADC=15°$；
③ 如图③，当AC=CD时，AD=BD，AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC，
在△ACD中，$∠ C+∠ CAD+∠ ADC=180°$，
∴$∠ ADC=\frac{1}{2}(180°-∠ C)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
又
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠B=∠BAD，
∴$∠ B=\frac{1}{2}∠ ADC=37.5°$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $∠ B$的度数为$\boldsymbol{60°}$或$\boldsymbol{15°}$或$\boldsymbol{37.5°}$，对应图形如下：


【知识点】
线段垂直平分线性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和与外角性质
【点评】
本题结合新定义“等腰分割线”考查等腰三角形相关知识，第一问属于基础性质应用，第二问需结合定义对△ACD的等腰情况分类讨论，解题时注意不要漏解，对逻辑思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6