1. 阅读理解 对于一个正实数$m$，我们规定：用符号$[\sqrt{m}]$表示不大于$\sqrt{m}$的最大整数，称$[\sqrt{m}]$为$m$的根整数，例如：$[\sqrt{4}]=2$，$[\sqrt{11}]=3$。我们对$m$连续求根整数，直到结果为1停止。例如：对11连续求根整数2次（$[\sqrt{11}]=3→[\sqrt{3}]=1$），这时候结果为1。现有如下四种说法：① $[\sqrt{5}]+[\sqrt{6}]$的值为4；② 若$[\sqrt{m}]=1$，则满足题意的$m$的正整数值有2个，分别是2和3；③ 对110连续求根整数，第3次后结果为1；④ 只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255。其中错误的说法有 （
A
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：1. A 解析: 对于①, 因为$[\sqrt{5}]=2,[\sqrt{6}]=2$, 所以$[\sqrt{5}]+[\sqrt{6}]=2+2=4$. 故①正确; 对于②, 若$[\sqrt{m}]=1$, 则满足题意的$m$的正整数值有3个,分别是1,2,3.故②错误;对于③,$[\sqrt{110}]=10→[\sqrt{10}]=3→[\sqrt{3}]=1$,所以对110连续求根整数,第3次后结果为1.故③正确;对于④,因为$[\sqrt{255}]=15→[\sqrt{15}]=3→[\sqrt{3}]=1$,且$[\sqrt{256}]=16→[\sqrt{16}]=4→[\sqrt{4}]=2→[\sqrt{2}]=1$,所以只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中,最大的是255.故④正确.综上,错误的说法有1个.
解析：
【分析】
本题是新定义类题型，解题第一步要准确理解“根整数”的含义：$[\sqrt{m}]$是不大于$\sqrt{m}$的最大整数，本质是对$\sqrt{m}$向下取整。接下来只需逐个验证4个说法的正误即可：验证时先通过估算无理数的范围确定根整数的值，涉及“连续求根整数”的问题可正向计算或逆向推导取值范围，最终统计错误说法的个数得到答案。
【解析】
我们逐个分析四个说法：
① 先估算$\sqrt{5}$和$\sqrt{6}$的范围：
∵$2^2=4＜5＜6＜9=3^2$，
∴$2＜\sqrt{5}＜3$，$2＜\sqrt{6}＜3$，根据定义得$[\sqrt{5}]=2$，$[\sqrt{6}]=2$，
∴$[\sqrt{5}]+[\sqrt{6}]=2+2=4$，故①正确。
② 若$[\sqrt{m}]=1$，根据定义可得$1≤\sqrt{m}＜2$，对不等式各项同时平方得$1≤ m＜4$，则满足条件的正整数$m$为1、2、3，共3个，不是只有2和3，故②错误。
③ 对110连续求根整数：
第一次：
∵$10^2=100＜110＜121=11^2$，
∴$[\sqrt{110}]=10$；
第二次：
∵$3^2=9＜10＜16=4^2$，
∴$[\sqrt{10}]=3$；
第三次：
∵$1^2=1＜3＜4=2^2$，
∴$[\sqrt{3}]=1$，刚好停止，即第3次后结果为1，故③正确。
④ 我们逆向推导只需3次运算就得到1的最大正整数：
第3次运算后得到1，说明第3次的输入$x_3$满足$[\sqrt{x_3}]=1$，则$x_3＜2^2=4$，最大取3；
第2次运算的输出为$x_3$，说明第2次的输入$x_2$满足$[\sqrt{x_2}]=3$，则$x_2＜4^2=16$，最大取15；
第1次运算的输出为$x_2$，说明第1次的输入$m$满足$[\sqrt{m}]=15$，则$m＜16^2=256$，最大取255。
验证：255运算3次得1（$[\sqrt{255}]=15→[\sqrt{15}]=3→[\sqrt{3}]=1$），256需要4次（$[\sqrt{256}]=16→[\sqrt{16}]=4→[\sqrt{4}]=2→[\sqrt{2}]=1$），故④正确。
综上，只有②是错误的，错误说法共1个。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，无理数估算，不等式应用
【点评】
本题重点考查对新定义的理解和应用能力，解题关键是将根整数的定义转化为无理数的大小比较或不等式范围求解，易错点是判断②时容易忽略m=1的情况，判断④时容易搞错取值的边界。
【难度系数】
0.7
2. 推理探究 我们发现：$\sqrt{6+3}=3$，$\sqrt{6+\sqrt{6+3}}=3$，$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+3}}}=3$，$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+3}}}}=3$，…，$\underbrace{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+···+\sqrt{6+\sqrt{6+3}}}}}}_{n个根号}=3$。一般地，对于正整数$a$，$b$，如果满足$\underbrace{\sqrt{b+\sqrt{b+\sqrt{b+···+\sqrt{b+\sqrt{b+a}}}}}}_{n个根号}=a$，那么称$(a,b)$为一组完美方根数对。如：上面$(3,6)$是一组完美方根数对。有下面4个结论：①$(4,12)$是完美方根数对；②$(9,91)$是完美方根数对；③若$(a,380)$是完美方根数对，则$a^2 - a=380$；④若$(x,y)$是完美方根数对，则$x,y$满足$y=x^2 - x$。其中正确的结论是________。
答案：2. ①③④ 解析: 因为$\sqrt{12+4}=4,\sqrt{12+\sqrt{12+4}}=4$,$\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+4}}}=4,\dots$,所以$(4,12)$是完美方根数对.故①正确;因为$\sqrt{91+9}=10≠9$,所以$(9,91)$不是完美方根数对.故②错误;若$(a,380)$是完美方根数对,则$\sqrt{380+a}=a$.所以$a^2=380+a$,即$a^2-a=380$.故③正确;若$(x,y)$是完美方根数对,则$\sqrt{y+x}=x$.所以$y+x=x^2$,即$y=x^2-x$.故④正确.综上,正确的结论是①③④.
解析：
【分析】
解这道题首先要准确理解“完美方根数对”的定义，观察给出的示例可以发现：不管嵌套多少层根号，只要最内层的$\sqrt{b+a}=a$，那么外层每一层的计算都是$\sqrt{b+a}=a$，所有嵌套形式的结果都等于$a$，因此完美方根数对的本质是满足$\sqrt{b+a}=a$（$a$、$b$为正整数）。接下来用这个核心等式逐个判断4个结论即可。
【解析】
① 对于$(4,12)$，计算得$\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$，在此基础上每多套一层根号，都是计算$\sqrt{12+4}=4$，因此不管多少个根号，结果都是4，符合完美方根数对的定义，故①正确；
② 对于$(9,91)$，计算最内层$\sqrt{91+9}=\sqrt{100}=10≠9$，不符合要求，因此$(9,91)$不是完美方根数对，故②错误；
③ 若$(a,380)$是完美方根数对，根据核心等式有$\sqrt{380+a}=a$，两边同时平方（$a$为正整数，平方后等式仍成立）得$a^2=380+a$，移项可得$a^2 -a=380$，故③正确；
④ 若$(x,y)$是完美方根数对，同理可得$\sqrt{y+x}=x$，两边平方得$x^2=y+x$，移项整理得$y=x^2 -x$，故④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
新定义问题，二次根式运算，等式变形
【点评】
本题以新定义“完美方根数对”为载体，考查二次根式的化简和等式的变形，解题的关键是从嵌套根式的规律中提炼出核心等量关系，避免逐层计算的繁琐，考查学生的阅读理解能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
3. 新方法 如何迅速准确地计算出四位整数的算术平方根呢？
（1）以下是小明探究整数$\sqrt{1\ 849}$的过程，请补充完整：
① 由$10^2=100,100^2=10\ 000$可以确定$\sqrt{1\ 849}$是
两
位数，
② 由1 849的个位上的数是9，可以确定$\sqrt{1\ 849}$的个位上的数是
3
或
7
，
③ 如果划去1 849后面的两位49得到数18，且$4^2=16,5^2=25$，可以确定$\sqrt{1\ 849}$的十位上的数是4. 因为$4×(4+1)=20$，且$18＜20$，所以选择较小的个位数. 则$\sqrt{1\ 849}=$
43
；
（2）已知3 136也是一个整数的平方，请根据（1）的方法求出$\sqrt{3\ 136}$，并写出过程.
答案：3. (1) ① 两 ② 3 7 ③ 43
(2) 根据(1)的方法求出$\sqrt{3\ 136}$的过程如下：
① 由$10^2=100,100^2=10\ 000$,可以确定$\sqrt{3\ 136}$是两位数；
② 由3 136的个位上的数是6,可以确定$\sqrt{3\ 136}$的个位上的数是4或6；
③ 如果划去3 136后面的两位36得到数31,且$5^2=25,6^2=36$,可以确定$\sqrt{3\ 136}$的十位上的数是5.又$5×(5+1)=30$,且$31＞30$,所以选择较大的个位数.则$\sqrt{3\ 136}=56$.
解析：
【分析】
本题可根据算术平方根的取值范围、完全平方数的个位特征逐步推导四位整数的算术平方根，思路如下：
1. 确定位数：先判断被开方数在哪两个相邻整十、整百数的平方之间，即可确定算术平方根的位数；
2. 确定个位可能值：根据0~9各数平方后的个位特征，结合被开方数的个位数字，得到算术平方根个位的可能取值；
3. 确定十位数字：划去被开方数后两位，判断剩余数介于哪两个相邻整数的平方之间，较小的整数即为十位数字；
4. 确定最终个位：比较剩余数与“十位数字×(十位数字+1)”的大小，若剩余数更小则选较小的个位值，若更大则选较大的个位值，即可得到最终结果。
【解析】
(1) ① 因为$10^2=100＜1849＜100^2=10000$，所以$\sqrt{1849}$是两位数；
② 只有个位为3或7的数，平方后个位是9，因此$\sqrt{1849}$的个位上的数是3或7；
③ 已知十位是4，又$18＜4×(4+1)=20$，选较小的个位数3，因此$\sqrt{1849}=43$。
(2) 计算$\sqrt{3136}$的过程：
① 由$10^2=100,100^2=10000$，可得$10^2＜3136＜100^2$，可确定$\sqrt{3136}$是两位数；
② 3136的个位是6，只有个位为4或6的数平方后个位是6，因此$\sqrt{3136}$的个位上的数是4或6；
③ 划去3136后面的两位36得到数31，由$5^2=25＜31＜6^2=36$，可确定$\sqrt{3136}$的十位上的数是5；又$5×(5+1)=30$，$31＞30$，所以选择较大的个位数6，则$\sqrt{3136}=56$。
【答案】
(1) ① 两 ② 3；7 ③ 43
(2) $\sqrt{3136}=56$，过程如下：① 由$10^2=100,100^2=10000$,可以确定$\sqrt{3136}$是两位数；② 由3136的个位上的数是6,可以确定$\sqrt{3136}$的个位上的数是4或6；③ 划去3136后面的两位36得到数31,且$5^2=25,6^2=36$,可以确定$\sqrt{3136}$的十位上的数是5.又$5×(5+1)=30$,且$31＞30$,所以选择较大的个位数，则$\sqrt{3136}=56$。
【知识点】
1. 算术平方根估算
2. 完全平方数性质
【点评】
本题通过探究四位整数算术平方根的快速计算方法，引导学生总结通用规律，既考查了对算术平方根相关概念的理解，也锻炼了归纳应用能力，总结的方法对快速估算较大整数的算术平方根实用性较强。
【难度系数】
0.8
