估计圆周率$π$的范围
请根据以下素材，完成探究任务.
背景材料
背景1
魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法. 在圆内作正多边形（正多边形的各顶点在圆上），当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用$\frac{\mathrm{正多边形的周长}}{\mathrm{圆的直径}}$来求得较为精确的圆周率. 祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加到24 576时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时领先其他国家一千多年.
背景2
祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率$π$精确到小数点后第七位的人，他给出$π$的两个分数形式：$\frac{22}{7}$（约率）和$\frac{355}{113}$（密率）. 同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据如下：设实数$x$的不足近似值和过剩近似值分别为$\frac{b}{a}$和$\frac{d}{c}$（即$\frac{b}{a}＜x＜\frac{d}{c}$，其中$a,b,c,d$为正整数），则$\frac{b+d}{a+c}$是$x$的更为精确的近似值. 例如：已知$\frac{157}{50}＜π＜\frac{22}{7}$，则利用一次“调日法”后可得到$π$的一个更为精确的近似分数为$\frac{157+22}{50+7}=\frac{179}{57}$；由于$\frac{179}{57}\approx3.1404＜π$，再由$\frac{179}{57}＜π＜\frac{22}{7}$可以再次使用“调日法”得到$π$的更为精确的近似分数……
探究任务
任务1
如图，依据“割圆术”，由圆内部的正六边形算得的圆周率的近似值是
3
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任务2
已知$\frac{157}{50}＜π＜\frac{22}{7}$，第几次“调日法”后可得到$π$的近似分数为$\frac{355}{113}$？
答案：任务1 3
解析:连接OC,OD. 因为六边形ABCDEF是正六边形, 所以易得$∠ COD=60°$. 又$OC=OD$, 所以$△ COD$是等边三角形, 即$OC=CD$. 所以正六边形ABCDEF的周长：圆O的直径$=6CD:2CD=3$. 所以由该正六边形算得的圆周率的近似值是3.
任务2 由“调日法”规律,得$\frac{355-157}{22}=9,\frac{113-50}{7}=9$,所以第9次“调日法”后可得到$π$的近似分数为$\frac{355}{113}$.
解析：
【分析】
任务1：要计算圆内接正六边形得到的圆周率近似值，需结合割圆术的定义（圆周率≈正多边形周长/圆的直径），先利用正六边形的性质找到边长与圆半径的关系，再代入计算比值即可。
任务2：首先理解“调日法”的运算规则，观察可知每次操作过剩近似值固定为$\frac{22}{7}$，新的近似值分子为前一次不足近似分子加22，分母为前一次不足近似分母加7，据此建立方程求解次数即可。
【解析】
任务1
连接OC、OD，设圆O的半径为$R$。
∵ 六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，
∴ 中心角$∠ COD=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵ $OC=OD=R$，
∴ $△ COD$是等边三角形，即$CD=OC=R$。
∴ 正六边形的周长为$6CD=6R$，圆的直径为$2R$，
根据割圆术的计算方法，圆周率近似值$=\frac{\mathrm{正六边形周长}}{\mathrm{圆的直径}}=\frac{6R}{2R}=3$。
任务2
设第$n$次使用“调日法”后得到近似分数$\frac{355}{113}$。
根据“调日法”规则，初始不足近似值为$\frac{157}{50}$，过剩近似值始终为$\frac{22}{7}$，每次操作后新的不足近似值满足：分子=前一次分子+22，分母=前一次分母+7，因此可列方程：
分子：$157 + 22n = 355$，
解得：$22n=198$，$n=9$；
验证分母：$50 +7n=50+7×9=113$，符合要求。
因此第9次“调日法”后可得到$\frac{355}{113}$。
【答案】
任务1：$\boxed{3}$；任务2：$\boxed{第9次}$
【知识点】
正多边形与圆，新定义应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合我国古代数学的优秀成果创设情境，既考查了正六边形、等边三角形的基础性质，又考查了对新定义运算的理解和应用能力，能让学生感受数学文化的魅力，同时提升信息提取与实际应用的能力。
【难度系数】
0.7
