【分析】
要比较根指数不同的两个正无理数的大小，直接估算近似值容易出现误差，可采用乘方法解题：由于a、b均为正数，将二者同时乘两个根指数的最小公倍数次幂，即可消去根号转化为有理数比较大小，且正数的同次正整数幂越大，对应的原数也越大。本题中根指数2和3的最小公倍数是6，因此计算a、b的6次方后比较结果即可判断大小。
【解析】
解：已知$a=\sqrt{2}＞0$，$b=\sqrt[3]{3}＞0$，分别计算二者的6次方：
$a^6=(\sqrt{2})^6=[(\sqrt{2})^2]^3=2^3=8$
$b^6=(\sqrt[3]{3})^6=[(\sqrt[3]{3})^3]^2=3^2=9$
因为$8＜9$，即$a^6 ＜ b^6$，结合正数同次幂越大原数越大的性质，可得$a ＜ b$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较；根式乘方运算；幂的运算性质
【点评】
本题是实数大小比较的典型题型，解题核心是将不同根指数的无理数通过乘方转化为有理数比较，规避了估算的误差，掌握该通法可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
要比较两个次数不同的正无理数的大小，可通过乘方将其转化为次数相同的幂再比较。由于2和3的最小公倍数是6，因此可将两个数分别进行6次方运算，因为正数的偶次幂仍为正数，且幂越大对应的原正数越大，只需比较6次方后的结果即可判断原数的大小。
【解析】
∵ $\sqrt{10}＞0$，$\sqrt[3]{30}＞0$
分别计算两个数的6次方：
$(\sqrt{10})^6 = [(\sqrt{10})^2]^3 = 10^3 = 1000$
$(\sqrt[3]{30})^6 = [(\sqrt[3]{30})^3]^2 = 30^2 = 900$
∵ $1000＞900$，即 $(\sqrt{10})^6 ＞ (\sqrt[3]{30})^6$
∴ $\sqrt{10} ＞ \sqrt[3]{30}$
【答案】
＞
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 乘方的运算性质
【点评】
本题是实数大小比较的常见题型，核心解题思路是通过乘方将不同次根式转化为同次幂，利用正数的乘方性质比较大小，掌握“化同次”的技巧即可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
要比较两个负数的大小，依据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则解题：第一步先分别求出两个负数的绝对值，第二步比较两个绝对值的大小，第三步根据规则反推原负数的大小。首先负数的绝对值是它的相反数，可直接化简两个数的绝对值；再比较两个正的绝对值的大小，结合$\sqrt{3}＜\sqrt{5}$、$1＜2$即可判断两个和的大小；最后依据负数比大小的规则得出最终结果。
【解析】
解：根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，计算得：
$\left|-\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}+1$，
$\left|-\sqrt{5}-2\right|=\sqrt{5}+2$，
∵ $\sqrt{3}＜\sqrt{5}$，$1＜2$，
∴ $\sqrt{3}+1＜\sqrt{5}+2$，
∴ $-\sqrt{3}-1＞-\sqrt{5}-2$。
【答案】
$-\sqrt{3}-1＞-\sqrt{5}-2$
【知识点】
1. 负数比较大小 2. 绝对值的性质 3. 实数大小比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题核心是掌握负数比较大小的法则，正确化简负数的绝对值即可快速求解，解题时注意不要混淆负数大小和绝对值大小的对应关系。
【难度系数】
0.8

【分析】
要比较两个含字母的根式的大小，首先从根式有意义的条件入手：算术平方根的被开方数必须是非负数，因此先根据$\sqrt{6-a}$有意义求出$a$的取值范围；再根据$a$的取值范围判断两个根式的正负性，最后利用“正数大于一切负数”的规则即可得出大小关系。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得：
$6-a≥ 0$
解得 $a≤ 6$
$\therefore a-7≤ 6-7=-1＜0$
根据算术平方根的性质，$\sqrt{6-a}≥ 0$；
根据立方根的性质，负数的立方根是负数，可得$\sqrt[3]{a-7}＜0$
$\because$ 正数大于一切负数
$\therefore \sqrt{6-a}＞\sqrt[3]{a-7}$
【答案】
$\sqrt{6-a}＞\sqrt[3]{a-7}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；立方根的性质；实数大小比较
【点评】
本题无需复杂运算，解题核心是先利用二次根式的非负性确定字母的取值范围，再结合立方根的符号特征判断两个代数式的正负，通过正数大于负数的规则快速比较大小，注重对根式基本性质的灵活运用。
【难度系数】
0.8

【分析】
遇到含无理数的代数式比较大小的问题，可先通过已知的平方数估算无理数的整数范围，再推导两个代数式的取值范围，找到合适的中间量即可间接比较二者大小。首先回忆平方数可知$3^2=9$、$4^2=16$，可得$\sqrt{10}$在3到4之间，进而得到$\sqrt{10}+2$的取值上限；再由$8^2=64$、$9^2=81$，可得$\sqrt{65}$在8到9之间，进而得到$\sqrt{65}-2$的取值下限，最后以6为中间量即可比较两个式子的大小。
【解析】
解：
∵$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
∴$3＜\sqrt{10}＜4$
∴$\sqrt{10}+2 ＜ 4+2=6$
又
∵$8^2=64$，$9^2=81$，且$64＜65＜81$
∴$8＜\sqrt{65}＜9$
∴$\sqrt{65}-2 ＞ 8-2=6$
因此$\sqrt{10}+2 ＜ 6 ＜ \sqrt{65}-2$，即$\sqrt{10}+2 ＜ \sqrt{65}-2$。
【答案】
＜
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题关键是准确估算出无理数相邻的两个整数，选取合适的中间量作为参照，即可快速得出大小关系。
【难度系数】
0.7

【分析】
要比较两个含无理数的式子的大小，可采用放缩法简化计算：首先观察到式中$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$都是小于2的正无理数，根据正数的倒数随原数增大而减小的规律，可得到两个分数项都大于$\frac{1}{2}$，先求出左边式子的取值下界，再将这个下界和$\sqrt{3}$比较即可得出结论。
【解析】
解：$\because \sqrt{2}＜2$，$\sqrt{3}＜2$，且$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$均为正数，
$\therefore \dfrac{1}{\sqrt{2}}＞\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{\sqrt{3}}＞\dfrac{1}{2}$，
$\therefore 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}＞1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=2$，
又$\because \sqrt{3}＜2$，
$\therefore 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}＞\sqrt{3}$。
【答案】
$1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}＞\sqrt{3}$
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 无理数估算
3. 不等式的性质
【点评】
本题考查实数大小比较的技巧，无需精确计算无理数的数值，通过合理放缩构造中间量即可快速解题，能有效锻炼学生的数感以及灵活运用不等式解决问题的能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题要求利用材料给出的作差法比较含无理数的实数大小，解题思路分三步：第一步对要比较的两个数作差，第二步估算差中无理数的取值范围，判断差的正负性，第三步根据作差法的判断规则确定两个数的大小关系。
【解析】
(1) 由“作差法”，得$\sqrt{5}-1-1=\sqrt{5}-2$。因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$。所以$\sqrt{5}-2＞0$，即$\sqrt{5}-1＞1$。
(2) 由“作差法”，得$\sqrt{17}+1-7=\sqrt{17}-6$。因为$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，所以$4＜\sqrt{17}＜5$。所以$\sqrt{17}-6＜0$，即$\sqrt{17}+1＜7$。
【答案】
(1) $\sqrt{5}-1＞1$；(2) $\sqrt{17}+1＜7$
【知识点】
作差法比较大小，无理数的估算
【点评】
本题属于材料阅读类基础题，需要先理解题干给出的作差法规则，再结合无理数估算的知识判断差的正负即可得出结论，侧重考查信息提取能力和基础应用能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先观察给出的等式，可发现规律：两个连续非负整数的算术平方根的和与差的乘积为1，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，二者互为有理化因式。
（1）对于计算式，先对每个分式进行分母有理化，利用发现的规律将每一项转化为两个根式的差，相加后中间项会相互抵消，仅剩余首尾两项，再结合平方差公式计算最终结果即可。
（2）直接比较两个根式差的大小难度较大，可通过比较倒数的大小判断：对于正数，倒数越大，原数越小。先对两个数的倒数进行有理化，转化为根式和的形式后比较大小，再反推原数的大小关系。
【解析】
（1）由题中等式规律可得：$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（$n$为正整数）。
将原式中每一项按上述规律变形：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{2027}-\sqrt{2026})]×(\sqrt{2027}+1)\\&=(\sqrt{2027}-1)×(\sqrt{2027}+1)\\&=(\sqrt{2027})^2 - 1^2\\&=2027 - 1\\&=2026\end{aligned}$
（2）先分别求两个数的倒数并有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{11}+\sqrt{10}}{(\sqrt{11}-\sqrt{10})(\sqrt{11}+\sqrt{10})}=\sqrt{11}+\sqrt{10}$，
$\dfrac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}=\dfrac{\sqrt{12}+\sqrt{11}}{(\sqrt{12}-\sqrt{11})(\sqrt{12}+\sqrt{11})}=\sqrt{12}+\sqrt{11}$。
因为$\sqrt{11}+\sqrt{10} ＜ \sqrt{12}+\sqrt{11}$，且$\sqrt{11}-\sqrt{10}＞0$，$\sqrt{12}-\sqrt{11}＞0$，正数的倒数越大，原数越小，所以$\sqrt{11}-\sqrt{10} ＞ \sqrt{12}-\sqrt{11}$。
【答案】
（1）$\boxed{2026}$；（2）$\boxed{\sqrt{11}-\sqrt{10} ＞ \sqrt{12}-\sqrt{11}}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，实数大小比较
【点评】
本题是规律探究类的二次根式运算题，核心是通过平方差公式实现二次根式的有理化变形，第一问用到的裂项相消是二次根式简便运算的常用技巧，第二问的倒数法是比较根式差大小的典型方法，熟练掌握上述方法可大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7