【分析】
首先审题可知本题是直角三角形求边长的问题，题目明确给出6cm、8cm是两条直角边的长度，第三边为斜边，无需分类讨论。解题时直接运用勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入数值计算后化简即可得到第三边的长度。
【解析】
已知$\mathrm{Rt}△ ABC$的两条直角边长分别为$a=6\mathrm{cm}$，$b=8\mathrm{cm}$，设第三边（斜边）长为$c$。
根据勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$c^2=a^2+b^2=6^2+8^2=36+64=100$
因为边长为正数，所以$c=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$，即第三边长为10cm。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是明确已知边的属性（直角边/斜边），再代入勾股定理计算即可，难度较低，注意计算时不要混淆直角边和斜边的位置。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题思路分为两步：①首先利用直角三角形的性质求斜边AB的长度：已知△ABC是直角三角形，D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AB=2CD，代入CD的长度即可算出AB；②再利用勾股定理计算CA的长度：已知Rt△ABC的斜边AB和直角边CB的长度，代入勾股定理公式即可求出另一条直角边CA的长。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD是斜边AB上的中线，
∴AB=2CD=2×2.5=5。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
代入BC=3，AB=5得：
$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题是基础计算题，核心是先通过直角三角形斜边中线的性质得到斜边长度，再结合勾股定理求解未知直角边，熟练掌握相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先观察图形特征：首先确定图中直角三角形的两条直角边长度，再利用勾股定理计算出斜边的长度，这条斜边就是所画半圆的半径，由此可知原点到点A的距离等于半径，最后结合点A在原点左侧的位置特征，确定其表示的实数为半径的相反数。
【解析】
1. 观察直角三角形可得：水平直角边的长度为2（对应数轴上0到2的距离），竖直直角边的长度为1。
2. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长为$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$。
3. 由于半圆是以原点为圆心，斜边长为半径绘制的，因此原点到点A的距离等于半径$\sqrt{5}$。
4. 点A在数轴原点的左侧，对应的数为负数，因此点A表示的实数是$-\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，圆的基本性质
【点评】
本题是数形结合的典型基础题，将数轴、勾股定理与圆的半径性质相结合，解题的关键是准确求出圆弧半径，再结合点的位置判断数的符号，有助于提升图形分析能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先观察图形特征：三个正方形分别以直角三角形的三条边为边长，根据正方形面积=边长×边长，可知每个正方形的面积恰好等于对应直角三角形边长的平方。再结合勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，可推出两个以直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积。已知面积为14的正方形对应斜边的正方形，面积为8的正方形对应其中一条直角边的正方形，因此用大正方形面积减去已知小正方形面积，即可求出正方形A的面积。
【解析】
设直角三角形的三条边分别为a、b、c（c为斜边）：
1. 根据正方形面积公式，面积为8的正方形边长为a，因此$a^2=8$；面积为14的正方形边长为c，因此$c^2=14$；正方形A的边长为b，面积为$b^2$。
2. 根据勾股定理，直角三角形满足$a^2 + b^2 = c^2$，因此$b^2 = c^2 - a^2$。
3. 代入数值计算：$b^2 =14-8=6$，即正方形A的面积为6。
【答案】
C
【知识点】
1. 勾股定理
2. 正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用，解题的核心是理解勾股定理的几何意义，即直角三角形三边对应的正方形面积之间的关系，无需计算边长即可通过面积加减直接求解，能有效考查对勾股定理本质的掌握程度。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题可按以下思路推导：1. 正方形面积等于边长的平方，因此两个已知正方形的面积可直接对应转化为直角三角形斜边AB、直角边BC的平方；2. △ACB是直角三角形，结合勾股定理即可求出另一条直角边AC的平方值；3. 计算半圆面积时不需要单独求出AC的长度，将AC²整体代入半圆面积公式运算即可，能简化计算步骤。
【解析】
解：
∵ 以AB为边的正方形面积为$26\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $AB^2=26\ \mathrm{cm}^2$，
∵ 以BC为边的正方形面积为$10\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $BC^2=10\ \mathrm{cm}^2$，
∵ $△ ACB$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，
∴ $AC^2=AB^2-BC^2=26-10=16\ \mathrm{cm}^2$，
已知半圆的直径为AC，则半圆的半径$r=\frac{AC}{2}$，
半圆面积$S=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π·(\frac{AC}{2})^2=\frac{π AC^2}{8}$，
将$AC^2=16$代入得：$S=\frac{π×16}{8}=2π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$2π$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；半圆面积计算
【点评】
本题是勾股定理与图形面积的综合题，解题关键是利用正方形面积和边长平方的关系，结合勾股定理得到AC的平方，再通过整体代换计算半圆面积，避免了单独求边长的复杂运算。
【难度系数】
0.7

【分析】要证明$AB^2 - AC^2 = BC · BE$，首先看到AD是BC边上的高，可得到两个直角三角形，借助勾股定理用含AB、BD和AC、CD的式子分别表示公共边$AD^2$，联立后可得到$AB^2$与$AC^2$的差的表达式；再利用平方差公式对该表达式因式分解，结合折叠的性质$ED=CD$，对因式分解后的线段进行代换，即可推导出要证的结论。
【解析】
证明：由折叠的性质，得$ED=CD$。
∵$AD$是边$BC$上的高，
∴$∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 - BD^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2$，
∴$AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2$，
移项可得$AB^2 - AC^2 = BD^2 - CD^2$。
由平方差公式可得$BD^2 - CD^2 = (BD + CD) · (BD - CD)$，
∵$BD + CD = BC$，且由折叠性质知$CD=ED$，
∴$BD - CD = BD - ED = BE$，
代入得$AB^2 - AC^2 = BC · BE$。
【答案】
$AB^2 - AC^2 = BC · BE$，得证。
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；平方差公式
【点评】
本题是数形结合的典型证明题，核心是利用直角三角形的勾股定理建立线段平方的等量关系，再结合图形变换的性质和代数因式分解完成推导，熟练掌握几何性质和代数公式的结合应用，能快速理清解题思路。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先要确定线段AD的长度取值范围：根据垂线段最短的性质，等腰三角形底边上的高是AD的最小值；再结合D不含B、C端点的条件，可知AD的长度小于腰长5。接下来利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理算出底边上高的长度，再根据AD为正整数确定其可能的取值，最后统计每个取值对应的D点个数相加即可得到结果。
【解析】
解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=5，△ABC为等腰三角形，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，E为BC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C），
∴AD的取值范围为$3≤AD＜5$（垂线段最短，且AD＜腰长AB=5），
又
∵AD的长为正整数，
∴AD的可能取值为3、4，
其中AD=3时，对应点D与垂足E重合，仅1个点；AD=4时，在E点的左右两侧各存在1个满足条件的点D，共2个点，
∴满足条件的点D总共有$1+2=3$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题的解题核心是先确定AD的取值范围，要特别注意题目中D不含B、C端点的限制，避免误将AD=5的情况纳入计算，确定AD的可能整数值后，要注意同一长度除了垂足位置外，在高的两侧各有一个对应点，不要漏算。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先观察到对角线AC⊥BD，可知四边形被分成4个直角三角形，可借助勾股定理解题：第一步，用勾股定理将待求的$AB^2$和$CD^2$分别拆分为对应直角三角形的直角边平方和；第二步，把拆分后的项重新分组，凑出已知边长$AD$、$BC$对应的平方和形式；第三步，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
∵ $AC ⊥ BD$，
∴ $∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=∠ DOA=90°$，
根据勾股定理：
在$Rt△ AOB$中，$AB^2=OA^2+OB^2$，
在$Rt△ COD$中，$CD^2=OC^2+OD^2$，
∴ $AB^2+CD^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$，
将式子重新分组可得：
$AB^2+CD^2=(OA^2+OD^2)+(OB^2+OC^2)$，
又
∵ 在$Rt△ AOD$中$OA^2+OD^2=AD^2$，在$Rt△ BOC$中$OB^2+OC^2=BC^2$，
∴ $AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$，
代入$AD=2$，$BC=4$得：
$AB^2+CD^2=2^2+4^2=4+16=20$。
【答案】
20
【知识点】
勾股定理，代数式恒等变形
【点评】
本题是勾股定理在对角线垂直的四边形中的典型应用，核心解题思路是将待求线段的平方拆分后重组，转化为已知线段的平方和，无需单独计算各段小对角线的长度，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7