【分析】
要计算阴影部分的面积，有两种常用思路：① 用整体减空白的方法，先求出大正方形的面积，再减去4个全等直角三角形的总面积，即可得到阴影面积；② 观察阴影部分是正方形，它的边长是直角三角形的斜边，可先根据勾股定理求出斜边的平方，也就是阴影正方形的面积。两种方法都可以快速求解，这里用更直观的面积差法推导。
【解析】
步骤1：计算大正方形的面积
由图可知大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式，大正方形面积为：
$S_{\mathrm{大正方形}}=(a+b)^2$
步骤2：计算4个空白直角三角形的总面积
每个直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，单个三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，则4个三角形的总面积为：
$S_{\mathrm{空白}}=4×\frac{1}{2}ab=2ab$
步骤3：计算阴影部分面积
阴影面积等于大正方形面积减去空白部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^2 - 2ab$
展开化简得：
$S_{\mathrm{阴影}}=a^2+2ab+b^2 - 2ab=a^2+b^2$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理证明的经典图形题，考查学生对图形面积的拆分能力和基础代数化简能力，两种解题思路都紧扣勾股定理的核心推导逻辑，掌握本题有助于理解勾股定理的面积证明方法。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题是直角三角形边长与勾股定理结合的计算问题，解题思路如下：首先，直角三角形中∠C为直角，满足勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，已知$a$的长度和$b+c$的和，我们可以先对勾股定理变形得到$c^2 - b^2 = a^2$，利用平方差公式将左边因式分解为$(c-b)(c+b)$，代入已知条件先求出$c-b$的值，再联立$b+c=32$解出$b$的长度，最后用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ 根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$，即$c^2 - b^2 = a^2$
由平方差公式因式分解得：$(c - b)(c + b) = a^2$
已知$a=8$，$b+c=32$，代入得：
$32×(c - b) = 8^2 = 64$
解得：$c - b = 2$
联立方程$\begin{cases}c + b = 32 \\ c - b = 2 \end{cases}$，两式相加得$2c=34$，解得$c=17$
将$c=17$代入$b+c=32$，得$b=32-17=15$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×8×15 = 60$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；平方差公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，解题时将勾股定理与代数运算结合，通过平方差公式变形可以快速简化计算，避免复杂的解方程步骤，有助于提升解题效率，掌握勾股定理的变形应用是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题未明确BC边上的高在三角形内部还是外部，需分两种情况讨论求解。首先设BC边上的高为AD，可得△ABD和△ACD均为直角三角形，先通过勾股定理分别计算BD、CD的长度，再根据高的位置判断BC的总长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设BC边上的高为AD，垂足为D，则AD=12，∠ADB=∠ADC=90°。
情况1：高AD在△ABC内部，D在线段BC上。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=13^2-12^2=25$，解得$BD=5$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=20^2-12^2=256$，解得$CD=16$。
此时$BC=BD+CD=5+16=21$，三角形面积为：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×21×12=126$。
情况2：高AD在△ABC外部，D在线段CB的延长线上。
同理可得$BD=5$，$CD=16$，此时$BC=CD-BD=16-5=11$，三角形面积为：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×11×12=66$。
综上，△ABC的面积为126或66，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题时需结合高的不同位置分类讨论，即可得到全部正确结果。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决本题的思路如下：第一步，先利用矩形的性质得到AB//CD、∠D=90°、AB=CD，再结合折叠的性质推出∠EAC=∠BAC，通过平行线的内错角相等得到∠BAC=∠OCA，等量代换后可证OC=OA，得到OC的长度；第二步，在Rt△ADO中，已知AD和OA的长度，用勾股定理求出OD的长度；第三步，CD=OD+OC，再结合AB=CD即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°，AB//CD，AB=CD，AD=4cm，
∵纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，
∴∠BAC=∠EAC，
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC=OA=5cm，
在Rt△ADO中，AD=4cm，OA=5cm，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$，
∴$CD=OD+OC=3+5=8\mathrm{cm}$，
又
∵AB=CD，
∴$AB=8\mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过折叠和平行线的性质推导得到等腰三角形，再结合勾股定理计算线段长度，是折叠类问题的常见考法。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 求∠AMC的度数：先利用全等三角形的性质得到对应角相等，将角代换后结合直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠AMC的度数；求四边形ACBD的面积：将四边形拆分为△ACD和△BCD两个三角形，分别确定两个三角形的底和高，用三角形面积公式计算后求和即可。
(2) 证明勾股定理用等面积法：已经得到四边形ACBD用a、b表示的面积结果，再利用对角线互相垂直的四边形面积计算方法，得到用c表示的四边形面积，令两个面积表达式相等，化简后即可证明勾股定理。
【解析】
(1) 由题意得△ABC≌△DEF，已知BC=a，AC=b，AB=c，根据全等三角形的性质可得：∠BAC=∠EDF，EF=BC=a，DF=AC=b，DE=AB=c。
∵∠DFE=90°，在Rt△DEF中∠EDF+∠DEF=90°，
∴代换得∠BAC+∠DEF=90°，
在△ACM中，∠AMC=180°-(∠BAC+∠DEF)=180°-90°=90°。
∵∠ACB=∠DFE=90°，
∴∠ACB+∠DFE=180°，即DF//BC，
∴$S_{\mathrm{四边形}ACBD} = S_{△ BCD} + S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}· BC· EF + \frac{1}{2}· AC· DF$
$=\frac{1}{2}a· a + \frac{1}{2}b· b$
$=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2$。
(2) 证明：由(1)可知AB⊥DE，$S_{\mathrm{四边形}ACBD}=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2$，且DE=AB=c。
将四边形ACBD的面积拆分为△ADE和△BDE的面积和：
$S_{\mathrm{四边形}ACBD} = S_{△ ADE} + S_{△ BDE}$
$=\frac{1}{2}· DE· AM + \frac{1}{2}· DE· BM$
$=\frac{1}{2}· DE· (AM+BM)$
$=\frac{1}{2}· DE· AB$
$=\frac{1}{2}c· c=\frac{1}{2}c^2$。
∵两个表达式表示同一四边形的面积，
∴$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2$，
两边同乘2得：$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【答案】
(1) $\boxed{90}$；$\boxed{\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2}$
(2) 证明如上，可得$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
全等三角形的性质；等面积法；勾股定理的证明
【点评】
本题是勾股定理证明的经典题型，核心考查等面积法的应用，解题关键是学会从不同角度拆分不规则图形的面积，结合全等三角形的性质进行边角代换，建立等式推导结论。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求$△ GFI$的面积，观察可知$△ GFI$是直角三角形，只需算出两条直角边$FG$和$IF$的长度即可。首先根据正方形面积与边长的关系，可得正方形$AHIG$的边长平方为20；再结合正方形$ABCD$的边长$AD=2$，在$Rt△ ABG$中利用勾股定理求出$BG$的长度，$BG$即为正方形$BEFG$的边长，可得$FG=BG$；最后在$Rt△ GFI$中利用勾股定理求出$IF$的长度，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
$\because S_{正方形AHIG}=20$，正方形面积等于边长的平方，
$\therefore AG^2=GI^2=20$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$AD=2$，
$\therefore AB=AD=2$，$∠ ABG=∠ ABC=90°$，
在$Rt△ ABG$中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{AG^2-AB^2}=\sqrt{20-2^2}=\sqrt{16}=4$。
$\because$四边形$BEFG$是正方形，
$\therefore ∠ F=90°$，$FG=BG=4$，
在$Rt△ GFI$中，由勾股定理得：
$IF=\sqrt{GI^2-FG^2}=\sqrt{20-4^2}=\sqrt{4}=2$，
$\therefore S_{△ GFI}=\frac{1}{2}IF· FG=\frac{1}{2}×2×4=4$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题以中国传统数学的“青朱出入图”为背景，考查勾股定理与正方形性质的综合应用，解题的关键是灵活运用正方形边长相等、内角为直角的性质，结合勾股定理求出三角形的直角边长，注重对基础知识的考查，同时渗透了传统文化教育。
【难度系数】
0.7

【分析】
要推导$(a+b)^2$的表达式，首先回忆完全平方公式可得$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$，只需分别找到$a^2+b^2$和$2ab$与$S_1$、$S_2$的对应关系即可。首先大正方形的边长是直角三角形的斜边，结合勾股定理可推出$a^2+b^2$等于大正方形面积$S_1$；再通过面积和差关系，四个直角三角形的总面积等于大正方形面积减小正方形面积，而四个直角三角形面积也可表示为$2ab$，即可得到$2ab$和$S_1$、$S_2$的关系，最后代入完全平方公式就能得到结果。
【解析】
解：由题意可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理得：
$S_1=a^2+b^2$
四个全等直角三角形的总面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积，即$4×\frac{1}{2}ab=S_1-S_2$，化简得：
$2ab=S_1-S_2$
根据完全平方公式：
$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$
将$a^2+b^2=S_1$、$2ab=S_1-S_2$代入上式得：
$(a+b)^2=S_1+(S_1-S_2)=2S_1-S_2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，面积和差计算
【点评】
本题是勾股定理证明相关的典型题型，核心是通过图形面积的和差建立代数式之间的等量关系，既考查了对几何图形面积关系的理解，也考查了代数公式的运用，需要熟练掌握相关公式和数形结合的思路。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时我们可以先设阴影部分的面积为已知量$a$，每个全等直角三角形的面积为参数$x$，结合赵爽弦图的特征，分别推导出三个正方形面积$S_1$、$S_2$、$S_3$之间的数量关系，再将各选项的代数式用含$a$、$x$、$S_1$的式子表示，化简后判断哪个代数式能消去未知参数，仅用已知的$a$表示，即可得到答案。
【解析】
设阴影部分的面积为$a$，每个全等直角三角形的面积为$x$。
由图形的面积关系可得：
正方形$EFGH$比正方形$MNKT$多4个直角三角形的面积，因此$S_2=S_1+4x$；
正方形$ABCD$比正方形$EFGH$多阴影面积$a$和4个直角三角形的面积，因此$S_3=S_2+a+4x=(S_1+4x)+a+4x=S_1+a+8x$。
逐一分析选项：
选项A：$S_1+2S_3=S_1+2(S_1+a+8x)=3S_1+2a+16x$，式中含有未知量$S_1$和$x$，无法求出，不符合题意；
选项B：$S_3-\frac{1}{2}S_1=S_1+a+8x-\frac{1}{2}S_1=\frac{1}{2}S_1+a+8x$，式中含有未知量$S_1$和$x$，无法求出，不符合题意；
选项C：$S_1+S_2+S_3=S_1+(S_1+4x)+(S_1+a+8x)=3S_1+a+12x$，式中含有未知量$S_1$和$x$，无法求出，不符合题意；
选项D：$S_1+S_3-2S_2=S_1+(S_1+a+8x)-2(S_1+4x)=S_1+S_1+a+8x-2S_1-8x=a$，$a$为已知的阴影面积，因此该式可以求出，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
赵爽弦图的特征；整式的化简；整体思想
【点评】
本题结合赵爽弦图的变式，考查了图形面积关系的分析能力和整式运算的应用，解题的关键是找准三个正方形面积之间的数量关系，通过设参化简的方式判断代数式是否可求，体现了整体代入思想的应用。
【难度系数】
0.6