【分析】
要计算长方形CDPG的面积，需先确定它的长和宽。首先已知Rt△ABC的两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边BC的长，正方形BCDE中CD=BC，即可得到长方形的一条边。接下来求边CG的长度时，可通过过点A作BC的垂线AA'，利用同角的余角相等得到对应等角，结合正方形边相等、角为直角的性质，证明△AA'C与△CGK全等，将CG转化为Rt△ABC斜边上的高AA'，再用三角形面积法求出AA'的长度，最后代入长方形面积公式计算即可。
【解析】
过点$A$作$AA'⊥ BC$于点$A'$，则$∠ AA'C=90°$，所以$∠ ACA'+∠ CAA'=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°,AC=3,AB=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AA'$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5· AA'$，解得$AA'=\frac{12}{5}$。
因为四边形$ACKL$是正方形，所以$AC=CK$，$∠ ACK=90°$，因此$∠ ACA'+∠ KCG=180°-∠ ACK=90°$，可得$∠ KCG=∠ CAA'$。
又因为四边形HFPQ是长方形，所以$∠ CGP=90°$，即$∠ CGK=90°$，所以$∠ AA'C=∠ CGK=90°$。
在$△ AA'C$和$△ CGK$中：
$\begin{cases}∠ AA'C=∠ CGK \\∠ CAA'=∠ KCG \\AC=CK\end{cases}$
所以$△ AA'C≌△ CGK(\mathrm{AAS})$，因此$CG=AA'=\frac{12}{5}$。
因为四边形$BCDE$是正方形，所以$CD=BC=5$。
所以长方形$CDPG$的面积为$CD· CG=5×\frac{12}{5}=12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题以勾股定理为背景，综合考查了正方形、长方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将未知边转化为直角三角形斜边上的高，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先明确“数学风车”的周长由4组完全相等的边构成，每组边包含1条延长得到的线段和1条风车的斜边。第一步先确定直角边长度：将长为6的直角边向外延长一倍，可得延长的线段长为6，延长后组成的新直角三角形较长直角边为12，另一条直角边长度为5；第二步利用勾股定理计算风车的斜边长度；第三步计算1组边的总长度，乘4即可得到风车的总周长。
【解析】
解：由题意得，将长度为6的直角边向外延长一倍，
∴延长出去的线段长为6，延长后得到的新直角三角形的较长直角边长为 $2×6=12$，
已知新直角三角形的另一条直角边 $BC=5$，且两边夹角为直角，
根据勾股定理，风车的斜边长度为：
$\sqrt{BC^2+12^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
因为风车共有4组相同的边，每组边的长度为 $6+13=19$，
∴风车的周长为 $4×19=76$
【答案】
76
【知识点】
勾股定理，全等图形的性质，周长计算
【点评】
本题以古代赵爽弦图为背景设计，考查勾股定理的实际应用，解题的核心是正确理解“向外延长一倍”的含义，结合图形的对称性找准边长的数量关系，注重对读图能力和基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明的式子$AB^2 = AE^2 + BE^2$符合勾股定理的形式，我们可以结合已知的全等条件和垂直关系，通过构造辅助线、利用面积法推导。首先从全等三角形的性质入手，得到对应边、角的等量关系，再结合垂直条件推导角的关系得到直角，最后将四边形面积用两种不同方式拆分，建立等式代入等量关系化简，即可得到结论。
【解析】
证明：连接$AC$，
∵ $△ ABE≅△ BCD$，
∴ $AB=BC$，$AE=BD$，$BE=CD$，$∠ BAE=∠ CBD$。
∵ $AE⊥ BD$，
∴ 在$Rt△ ABE$中，$∠ ABE+∠ BAE=90°$，
将$∠ BAE=∠ CBD$代入得：$∠ ABE+∠ CBD=90°$，即$∠ ABC=90°$。
又
∵ $BD⊥ CD$，$AE⊥ BD$，
∴ $AE// CD$，即$△ ACD$底边$CD$上的高等于$DE$的长，
∴ $S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD· DE$。
∵ 四边形$ABCD$的面积可表示为$S_{△ ABD}+S_{△ BCD}$，也可表示为$S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$，
∴ $\frac{1}{2}AE· BD+\frac{1}{2}BD· CD=\frac{1}{2}AB· BC+\frac{1}{2}CD· DE$，
等式两边同时乘2，再代入$AE=BD$、$AB=BC$、$BE=CD$得：
$AE^2 + BD· BE = AB^2 + BE· DE$，
移项整理得：$AB^2 = AE^2 + BE·(BD-DE)$，
∵ $BD-DE=BE$，
∴ $AB^2 = AE^2 + BE^2$，得证。
【答案】
$AB^2 = AE^2 + BE^2$，证明成立。
【知识点】
全等三角形的性质，直角三角形的性质，面积法证明勾股定理
【点评】
本题是勾股定理证明的典型题型，核心是通过全等三角形得到边角等量关系，结合图形面积的不同拆分方式建立等式，化简得到结论，能很好地锻炼学生对几何等量关系和面积法的运用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 推导锐角三角形三边平方关系时，核心思路是作高将锐角三角形拆分为两个直角三角形，借助公共高的平方在两个直角三角形中可分别用勾股定理表示，联立等式展开化简即可得到对应空缺的表达式；
(2) 推导钝角三角形三边平方关系时，类比锐角三角形的推导方法，过钝角所对边的顶点作对边延长线的垂线，同样利用公共高相等建立等式，展开后结合边长为正的性质判断$a^2+b^2$与$c^2$的大小即可。
【解析】
(1) 锐角三角形的证明中，过点C作AB边上的高，设直角边段长为x，联立两个直角三角形中公共高的平方的表达式，化简可得①处为$c^2-(a-x)^2$，整理后②处为$2ax$；
(2) 猜想：$a^2 + b^2 ＜ c^2$，证明如下：
过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$，交 $BC$ 的延长线于点 $D$，设 $CD=x$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中，由勾股定理得：$AD^2=b^2-x^2$；
在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中，由勾股定理得：$AD^2=c^2-(a+x)^2$；
因此可得等式：$b^2-x^2=c^2-(a+x)^2$。
展开化简：
$b^2 -x^2 = c^2 - (a^2 + 2ax +x^2)$
消去等式两侧的$-x^2$，移项得：$a^2 +b^2 -c^2 = -2ax$
因为 $a＞0,x＞0$，所以 $-2ax＜0$，即 $a^2+b^2-c^2＜0$，故$a^2+b^2＜c^2$。
【答案】
(1) $c^2-(a-x)^2$；$2ax$
(2) $a^2+b^2＜c^2$，证明见上述解析。

【知识点】
勾股定理；构造直角三角形；不等式的性质
【点评】
本题属于勾股定理的拓展探究题，通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形求解，渗透了转化的数学思想，能有效锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7