【分析】
要计算直角三角形的面积，已知面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$，因此核心是求出$ab$的值。首先根据直角三角形的勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$，结合已知$a-b=1$，可将$a-b$两边平方，利用完全平方公式把$a^2+b^2$整体代入，即可快速求出$ab$的值，进而得到面积。也可通过用$b$表示$a$，代入勾股定理的式子求解$a$、$b$的具体值，再计算面积。
【解析】
解：$\because$在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，斜边长$c=5$
$\therefore$由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2 = 5^2 = 25$
已知$a - b = 1$，将等式两边同时平方得：
$(a - b)^2 = 1^2$
展开得：$a^2 - 2ab + b^2 = 1$
把$a^2 + b^2 = 25$代入上式得：
$25 - 2ab = 1$
解得：$2ab = 24$，即$ab = 12$
$\therefore △ABC$的面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 12 = 6$
【答案】
6
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，直角三角形面积计算
【点评】
本题可通过两种思路求解，一种是直接求解两条直角边的长度再算面积，另一种是利用整体思想求出$ab$的值，后者计算更简便，体现了整体代入思想在代数与几何综合题中的应用，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题的核心是结合正方形性质、全等三角形判定与勾股定理推导正方形面积的关系。首先观察图形，正方形B的边作为相邻两个直角三角形的公共斜边，可先证明这两个直角三角形全等，将正方形A、C的边长转化到同一个直角三角形中，再利用勾股定理得到正方形B的面积与A、C面积的关系；同理推导正方形D的面积与C、E面积的关系，最后求和即可得到结果。
【解析】
如图，设FG为正方形A的边，HQ为正方形C的边，FP、PH为正方形B的边。
由正方形的性质可得：$∠ FGP=∠ PQH=∠ FPH=90°$，$FP=PH$，且$S_A=FG^2=3$，$S_C=HQ^2=5$，$S_E=4$。
$\because ∠ GFP+∠ GPF=90°$，$∠ GPF+∠ QPH=180°-∠ FPH=90°$
$\therefore ∠ GFP=∠ QPH$
在$△ GFP$和$△ QPH$中：
$\begin{cases}∠ FGP=∠ PQH \\∠ GFP=∠ QPH \\FP=PH\end{cases}$
$\therefore △ GFP ≌ △ QPH \mathrm{（AAS）}$，可得$PG=HQ$
在$Rt△ GFP$中，由勾股定理得：$FG^2+PG^2=FP^2$
将$PG=HQ$代入得：$FG^2+HQ^2=FP^2$，即$S_B=S_A+S_C=3+5=8$
同理可证$S_D=S_C+S_E=5+4=9$
因此正方形B、D的面积之和为$8+9=17$
【答案】
17
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理应用的典型几何综合题，解题关键是通过角度互余推导等角，证明三角形全等实现边长的转化，再结合勾股定理建立不同正方形面积的数量关系，能够很好地考查学生的几何推理能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.65

【分析】
本题是直角三角形边长计算问题，核心依据勾股定理求解。首先明确已知条件：一条直角边长为12，剩余两条边（一条直角边、一条斜边）是连续奇数，连续奇数的差为2，且斜边是三角形最长边，因此可将较短的未知直角边设为未知数，斜边用含该未知数的式子表示，代入勾股定理列方程求解未知边长，最后将三边相加得到周长。
【解析】
解：设另一条直角边长为$x$，由于另两边为连续奇数，且斜边长度大于直角边，因此斜边长为$x+2$。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$12^2 + x^2 = (x+2)^2$
展开并化简方程：
$144 + x^2 = x^2 + 4x + 4$
消去两边$x^2$得：$144 = 4x + 4$
移项计算得：$4x = 140$，解得$x=35$
则斜边长为$35+2=37$
直角三角形周长为：$12 + 35 + 37 = 84$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题；奇数的特征
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是结合连续奇数的特点合理设未知数，同时注意斜边是直角三角形的最长边，避免因未知边大小关系设错导致计算错误，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题属于勾股定理的应用类题型，观察图形可知△ABC和△ABD都是直角三角形，且AB为两个三角形的公共直角边。解题时先设未知数表示两条绳长AC、AD，再根据勾股定理分别用含未知数的式子表示AB²，利用AB长度固定、AB²相等的关系建立方程，先求出AC的长度，最后代入勾股定理公式即可算出AB的高度。
【解析】
解：设绳长$ AC=x\ \mathrm{m} $，由题意得AD比AC长5 m，因此$ AD=(x+5)\ \mathrm{m} $。
由图可知$ ∠ ABC=90° $，$ BC=9\ \mathrm{m} $，$ CD=7\ \mathrm{m} $，因此$ BD=BC+CD=9+7=16\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，根据勾股定理可得：$ AB^2=AC^2-BC^2=x^2-9^2 $
在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，根据勾股定理可得：$ AB^2=AD^2-BD^2=(x+5)^2-16^2 $
联立两式可得方程：
$ x^2-9^2=(x+5)^2-16^2 $
展开化简：
$ x^2-81=x^2+10x+25-256 $
$ 10x=150 $
解得$ x=15 $，即$ AC=15\ \mathrm{m} $。
将$ AC=15\ \mathrm{m} $代入$ AB=\sqrt{AC^2-BC^2} $得：
$ AB=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m} $
【答案】
楼AB的高度为12 m。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 一元一次方程应用
【点评】
本题是勾股定理章节的典型常考题，核心是利用公共直角边建立等量关系，将几何计算转化为代数方程求解，体现了数形结合的思想，能很好地考查学生对勾股定理的掌握和知识融合应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时可先设$\mathrm{Rt}△ABC$的两条直角边$AC=a$，$BC=b$，斜边$AB=c$。观察图形可知阴影部分为分别以$AC$、$BC$为直角边的两个等腰直角三角形的面积之和，先分别表示出两个等腰直角三角形的面积，相加后结合勾股定理$a^2+b^2=AB^2$，就能建立阴影面积与$AB$的等量关系，进而求出$AB$的长度。
【解析】
解：设$\mathrm{Rt}△ABC$中，$AC=a$，$BC=b$，$∠ C=90°$，斜边为$AB$。
根据勾股定理可得：$a^2+b^2=AB^2$。
由题意，阴影部分是分别以$AC$、$BC$为直角边向外作的等腰直角三角形，两个等腰直角三角形的面积分别为$\frac{1}{2}a^2$、$\frac{1}{2}b^2$。
已知阴影部分总面积为162，因此：
$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=162$
提取公因式得：$\frac{1}{2}(a^2+b^2)=162$
将$a^2+b^2=AB^2$代入得：
$\frac{1}{2}AB^2=162$
整理得$AB^2=324$，由于线段长度为正数，因此$AB=\sqrt{324}=18$。
【答案】
$18$
【知识点】
勾股定理，等腰直角三角形面积计算，整体代入思想
【点评】
本题将勾股定理与等腰直角三角形的面积计算相结合，解题的核心是发现阴影部分面积和直角三角形三边的关系，通过整体代入的方法简化计算，无需单独求解两条直角边的长度，考查几何直观分析能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
遇到这类阴影面积和差的问题，首先不要尝试单独计算每个不规则阴影的面积，而是通过割补转化的思路，结合已知规则图形的面积求解。第一步先利用勾股定理求出直角三角形斜边的平方，得到三个正方形的面积关系；第二步推导阴影面积的和差与正方形、直角三角形ABC面积的关系，最后代入数值计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
根据勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=25$，
因此三个正方形的面积分别为：
$S_{\mathrm{正方形}ACPQ}=AC^2=9$，$S_{\mathrm{正方形}BCMN}=BC^2=16$，$S_{\mathrm{正方形}ABEF}=AB^2=25$，
$△ ABC$的面积为：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×3×4=6$，
结合图形的面积重叠关系可得：$S_1-S_2+S_3+S_4=S_{\mathrm{正方形}ACPQ}+S_{\mathrm{正方形}BCMN}-(S_{\mathrm{正方形}ABEF}-S_{△ABC})$，
代入数值计算：$9+16-(25-6)=25-19=6$。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；面积割补法
【点评】
本题重点考察转化思想的应用，无需单独求解每个阴影部分的面积，通过割补将不规则阴影的和差运算转化为规则图形的面积运算，结合勾股定理得到的正方形面积关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先明确直角三角形中已知两边未说明是直角边还是斜边时，需分类讨论：①已知两边均为直角边；②较长的已知边为斜边（较短边不可能为斜边，因为斜边是直角三角形最长边）。再结合勾股定理计算斜边长，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解中线长即可。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当长为6和8的边均为直角边时：
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
由直角三角形斜边中线性质，斜边上的中线长为斜边的一半，即$\frac{1}{2} × 10 = 5$。
2. 当长为8的边为斜边时：
此时直接根据直角三角形斜边中线性质，斜边上的中线长为$\frac{1}{2} × 8 = 4$。
综上，该直角三角形斜边上的中线长为4或5。
【答案】
4或5
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认已知的两条边都是直角边，导致漏解。解题时需注意，若题目未明确直角三角形的边长类型，要结合斜边最长的特点分情况分析。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。首先利用勾股定理求出$\mathrm{Rt}△ABC$的斜边$BC$的长度，再结合已知的$CD$、$CE$和$BC$、$AC$的比例关系，求出$CD$、$CE$的长度，再由$DE⊥ AC$，用勾股定理求出$DE$的长度。因为$P$是直线$AC$上的动点，折叠后点$C$落在直线$DE$上，所以需要分两种情况讨论：①点$P$在点$E$的左侧；②点$P$在点$E$的右侧。两种情况都设$CP$的长为未知数，结合折叠性质表示出$PH$、$PE$的长度，再在$\mathrm{Rt}△PEH$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AC=12$，$AB=9$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$
∵$CD=\frac{1}{3}BC$，$CE=\frac{1}{3}AC$，
∴$CD=\frac{1}{3}×15=5$，$CE=\frac{1}{3}×12=4$。
∵$DE⊥ AC$，在$\mathrm{Rt}△CDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
由折叠的性质可得：$PC=PH$，$DC=DH=5$。
分两种情况讨论：
① 如图①，当点$P$在点$E$的左侧时：
$EH=DE+DH=3+5=8$，
设$CP=x$，则$PH=x$，$PE=CP-CE=x-4$，
在$\mathrm{Rt}△PHE$中，由勾股定理得$PH^2=PE^2+EH^2$，即：
$x^2=(x-4)^2+8^2$
展开化简得$8x=80$，解得$x=10$，即$CP=10$。
② 如图②，当点$P$在点$E$的右侧时：
$EH=DH-DE=5-3=2$，
设$CP=y$，则$PH=y$，$PE=CE-CP=4-y$，
在$\mathrm{Rt}△PHE$中，由勾股定理得$PH^2=PE^2+EH^2$，即：
$y^2=(4-y)^2+2^2$
展开化简得$8y=20$，解得$y=\frac{5}{2}$，即$CP=\frac{5}{2}$。
综上，$CP$的长为10或$\frac{5}{2}$。
【答案】
10或$\frac{5}{2}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题考查折叠变换与勾股定理的综合应用，解题的关键是根据动点的位置进行分类讨论，避免漏解，同时要掌握利用勾股定理构建方程求解未知线段长度的方法。
【难度系数】
0.6