【分析】
要计算正方体表面从A到B的最短路径，首先明确小虫只能沿正方体表面爬行，不能穿过正方体内部，因此需要将包含A、B两点的两个相邻正方体表面展开为同一平面，把立体问题转化为平面上的两点距离问题，根据“两点之间线段最短”，此时A、B两点的线段长度就是最短路径，再用勾股定理计算该线段长度即可。
【解析】
将正方体中包含点A和点B的两个相邻面展开，使A、B处于同一平面内，此时连接A、B的线段为最短爬行路线。
展开后，该线段可看作直角三角形的斜边，两条直角边的长度分别为：
一条直角边等于正方体的棱长：10 cm；
另一条直角边为两个正方体棱长之和：$10 + 10 = 20$ cm。
根据勾股定理，最短路线长为：
$\sqrt{10^2 + 20^2} = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{500}$（cm）
【答案】
$\sqrt{500}$
【知识点】
勾股定理，立体图形平面展开，最短路径计算
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，解题核心是将立体图形展开为平面图形，把空间路径转化为平面内的线段距离，再结合勾股定理求解，解题时要注意正确选择展开面，避免边长计算错误。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决正方体表面的最短爬行路径问题，首先需将立体图形的表面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”的原理，确定连接两点的线段就是最短路径。接下来选择合适的展开方式，将点B和点M所在的两个相邻面展开到同一平面，构造出直角三角形，最后利用勾股定理计算该线段的长度即可。
【解析】
将正方体包含点M的上底面与包含点B的正面展开到同一平面，连接BM，根据两点之间线段最短，BM的长度即为蚂蚁爬行的最短路程。
已知正方体棱长为2，M为EH的中点，因此：
$AB = 2$，$AE = 2$，$EM = \frac{1}{2}EH = \frac{1}{2}×2 = 1$，
可得直角边$AM = AE + EM = 2 + 1 = 3$，另一条直角边$AB = 2$，且∠A为直角，
根据勾股定理：
$BM = \sqrt{AM^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
最短路径问题，正方体展开图，勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的常规题型，核心考查空间想象能力和勾股定理的应用，解题的关键是正确将立体图形展开为平面图形，注意要选择对应的边计算直角边长度。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求长方体侧面绕两周的最短彩条长度，需先将立体的侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”将曲面路径转化为平面内的线段长度求解。由于彩条绕侧面两周，可将展开后竖直方向的高平均分为2份，每份对应绕一周的竖直高度，水平方向每段对应底面正方形的周长，再分别用勾股定理计算两段线段长度，求和即可得到最短总长度。
【解析】
将长方体的侧面沿AB展开，取AB的中点C'、A'B'的中点C，连接AC、B'C'，则$AC + B'C'$即为所求的最短彩条长度。
由题意可知：
底面是边长为3cm的正方形，因此底面周长为$4×3=12\mathrm{cm}$，即单段路径对应的水平长度为12cm；
长方体高为10cm，因此单段路径对应的竖直长度为$10÷2=5\mathrm{cm}$，且展开后对应的角为直角。
根据勾股定理，单段路径长度：
$AC=B'C'=\sqrt{12^2 + 5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$
因此彩条最短总长度为$13+13=26\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
长方体侧面展开，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型考题，解题核心是将曲面转化为平面，要注意绕多周时需匹配好展开后水平、竖直方向的对应长度，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决长方体表面的最短路径问题，核心依据是“两点之间，线段最短”，首先需要将蚂蚁经过的前面和右面两个面展开到同一平面内，此时A、B两点在该平面内的线段长度就是最短路程。展开后A、B与辅助点C构成直角三角形，确定两条直角边的长度后，用勾股定理即可计算出AB的长度。
【解析】
将长方体的前面和右面展开到同一平面，线段AB的长即为蚂蚁行走的最短路程。
由题意得：直角边AC为长方体长与宽的和，即AC=3+2=5，另一条直角边BC等于长方体的高，即BC=1，且∠C=90°。
根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$
【答案】
$\sqrt{26}$
【知识点】
长方体表面展开、两点之间线段最短、勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，解题关键是将立体图形的面展开为平面图形，把空间最短路径转化为平面内两点间的线段长度，再结合勾股定理计算，展开时要明确所经过的面，避免直角边长度计算错误。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求圆柱侧面上从A到B缠绕一圈的最短彩带长度，曲面中无法直接用两点之间线段最短的结论，因此首先需要将圆柱的侧面展开为平面图形（长方形），此时A、B两点在展开的平面上，两点之间的线段长度就是最短路径。展开后长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高，线段AB为直角三角形的斜边，利用勾股定理即可计算出AB的长度。
【解析】
将圆柱的侧面展开，得到长方形ACBD，连接AB，根据两点之间线段最短，AB的长即为彩带的最短长度。
由题意可知：长方形的长AC等于圆柱底面周长，即AC=12 cm，长方形的宽BC等于圆柱的高，即BC=5 cm，且∠C=90°。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
因此这条彩带的长度最短是13 cm。
【答案】
C

【知识点】
圆柱侧面展开，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是曲面最短路径的常规题型，解题核心是将曲面转化为平面图形，把立体问题转化为平面问题求解，很好地考查了空间转化思维和勾股定理的实际应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决这类圆柱上的最短路径问题，核心思路是化曲面为平面：第一步，将圆柱侧面展开为长方形，把曲面路径转化为平面上的路径；第二步，由于蜘蛛在容器外侧、苍蝇在容器内侧，路径需要经过容器上边缘，这种过定直线找最短路径的问题，可用对称点法转化：作点F关于容器上边缘的对称点F'，此时从S到F的最短路径长度等价于S到F'的线段长度（两点之间线段最短）；第三步，找到对应直角三角形的两条直角边，利用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
将圆柱的侧面展开为长方形，作点F关于长方形上边AB的对称点F'，连接SF'，根据两点之间线段最短，SF'即为蜘蛛所走的最短路线。
由题意得：
底面周长为24cm，S与F相对，因此SC为底面半周长：$SC=\frac{1}{2}×24=12\mathrm{cm}$；
容器高15cm，F距上沿1cm，因此$CF'=15+1=16\mathrm{cm}$，且$∠ SCF'=90°$。
在Rt△SCF'中，由勾股定理可得：
$SF'=\sqrt{SC^2+CF'^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\mathrm{cm}$。
【答案】
20
【知识点】
圆柱侧面展开图、最短路径问题、勾股定理的应用
【点评】
本题是曲面最短路径的典型考题，解题关键是掌握将曲面转化为平面的方法，同时注意内侧点需要通过对称转化为同侧点再求最短路径，计算时要准确选取直角边的长度，避免混淆周长和半周长、对称点的竖直长度计算错误。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题是两动一定型的最短路径求周长最值问题，解题核心是利用轴对称性质将折线段转化为直线段。首先明确D为定点，E、F是分别在AB、BC上的动点，要使△DEF的周长DE+EF+FD最小，可分别作点D关于AB、BC的对称点，利用轴对称性质把DE、DF转化为对称点到E、F的线段，根据“两点之间线段最短”，当两个对称点与E、F共线时，三条线段的和最小，等于两个对称点之间的线段长度，最后结合等腰直角三角形的性质和勾股定理计算该线段长度即可。
【解析】
解：作点D分别关于AB、BC的对称点N、M，连接AN、CM、MN，MN分别交AB、BC于P、Q两点，连接DP、DQ。
由轴对称的性质可得：∠NAB=∠CAB，∠BCM=∠ACB，DQ=QM，PD=PN，AN=AD，CM=CD，因此当E、F两点分别与P、Q两点重合时，△DEF的周长DE+EF+FD=PN+PQ+QM=MN，此时周长最小，最小值为MN的长。
已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2，
∴∠CAB=45°，
∴∠DAN=∠NAB+∠CAB=45°+45°=90°，∠ACB+∠BCM=90°+90°=180°，即A、C、M三点共线。
∵D为AC中点，
∴AD=CD=1，
∴AN=1，AM=AC+CM=2+1=3。
在Rt△MAN中，由勾股定理得：$MN=\sqrt{AN^2+AM^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
最短路径问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是将军饮马模型的变式应用，核心考查转化思想，通过作对称点将三角形周长最小值问题转化为两点间线段长度的计算问题，同时需要结合等腰直角三角形的性质确定直角三角形的边长，再用勾股定理求解，是几何最值类的典型习题。
【难度系数】
0.6

【分析】
（1）要表示AC+CE的长，首先观察到△ABC和△CDE均为直角三角形，先根据BD、CD的长度关系求出BC的长度，再分别在两个直角三角形中利用勾股定理表示出AC和CE，二者相加即可得到结果。
（2）求AC+CE的最小值属于最短路径问题，根据“两点之间线段最短”，可通过作点A关于BD的对称点A'，将AC转化为A'C，此时AC+CE转化为A'C+CE，当A'、C、E三点共线时，和最小，最小值为A'E的长度，再构造直角三角形用勾股定理计算A'E的长度即可。
【解析】
（1）
∵ CD=x，BD=8，
∴ BC=BD-CD=8-x。
∵ AB⊥BD，ED⊥BD，
∴ ∠B=∠D=90°。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{x^2+1^2}=\sqrt{x^2+1}$；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+(8-x)^2}=\sqrt{25+(8-x)^2}$；
∴ $AC+CE=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{25+(8-x)^2}$。
（2）作点A关于BD的对称点A'，连接A'E，交BD于点C，此时AC+CE的值最小。
由轴对称的性质可知：A'C=AC，A'B=AB=5，∠A'BD=∠B=90°，
∴ AC+CE=A'C+CE=A'E。
过点A'作A'M⊥ED，交ED的延长线于点M，
则四边形A'BDM是矩形，
∴ A'M=BD=8，DM=A'B=5，
∵ DE=1，
∴ EM=DM+DE=5+1=6，
在Rt△A'EM中，由勾股定理得：$A'E=\sqrt{A'M^2+EM^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=10$，
即AC+CE的最小值为10。
【答案】
（1）$AC+CE=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(8-x)^2+25}$；
（2）10
【知识点】
勾股定理；最短路径问题；轴对称的性质
【点评】
本题将勾股定理与最短路径问题相结合，第一问是勾股定理的基础应用，难度较低；第二问的核心是利用轴对称将线段和转化为两点之间的线段长，体现了几何转化的思想，是此类最短路径问题的常用解法。
【难度系数】
0.6