【分析】
本题是平面直角坐标系下的矩形翻折问题，解题可按以下思路推导：首先利用矩形的性质得到已知边的长度和直角条件；再结合翻折前后对应边相等的性质，得到AE、DE与已知边的等量关系；接着先在Rt△ABE中用勾股定理求出BE的长度，进一步得到CE的长度；最后设OD的长度为未知数，在Rt△CDE中用勾股定理列方程求解，即可得到D点的坐标。
【解析】
∵四边形OABC是长方形，OA=10，OC=8，
∴AB=OC=8，BC=OA=10，∠B=∠C=90°，
由翻折的性质可得：AE=AO=10，DE=OD，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∴$CE=BC-BE=10-6=4$，
设$OD=m$，则$DE=m$，$CD=OC-OD=8-m$，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：$CD^2+CE^2=DE^2$，
代入得：$(8-m)^2+4^2=m^2$，
展开化简：$64-16m+m^2+16=m^2$，
$80-16m=0$，解得$m=5$，
即OD=5，又
∵点D在y轴上，
∴点D的坐标为(0,5)。
【答案】
(0,5)
【知识点】
矩形的性质；翻折变换的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何计算结合的常规题型，核心是利用翻折的性质转化相等线段，再结合勾股定理建立方程求解，很好地考查了方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 先推导已知点坐标：由AB⊥x轴，B(-2,0)，AB=BO=2，可得A(-2,2)。关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，即可求A的对称点坐标；OA为第二象限角平分线，结合轴对称性质可求B关于OA的对称点坐标。
(2) 设B关于OP的对称点为G，连接OG，根据轴对称性质得OG=OB、∠POG=∠POB，推导得∠GOH=60°，在直角三角形中利用30°角对的直角边等于斜边一半，即可求出G的横坐标。
(3) 要证M、N关于x轴对称，只需证两点横坐标相等、纵坐标互为相反数。先构造辅助线证明△BOP≌△RPC，用参数表示C点坐标，再根据轴对称性质分别推导M、N的坐标，验证坐标特征即可得证。
【解析】
(1) 由题意得B(-2,0)，AB⊥x轴且AB=2，故A点坐标为(-2,2)。
点关于x轴对称时横坐标不变，纵坐标取相反数，因此A关于x轴的对称点坐标为(-2,-2)。
OA为第二象限角平分线（直线y=-x），根据轴对称性质可得B(-2,0)关于OA的对称点坐标为(0,2)。
(2) 设点B关于OP的对称点为G，过点G作GH⊥x轴于点H，连接OG。
由轴对称性质得：OG=OB=2，∠POG=∠POB=60°，
因此∠GOH=180°-∠POG-∠POB=60°，
在Rt△GOH中，∠OGH=90°-∠GOH=30°，
所以$OH=\frac{1}{2}OG=\frac{1}{2}×2=1$，即点B关于OP的对称点的横坐标为1。
(3) 证明：过点C作CR⊥AB于点R，则∠CRP=90°。
∵AB⊥x轴，
∴∠PBO=90°，即∠CRP=∠PBO。
由旋转性质得：OP=PC，∠OPC=90°，
∴∠BPO+∠RPC=180°-∠OPC=90°，
又
∵∠BPO+∠BOP=90°，
∴∠RPC=∠BOP。
在△BOP和△RPC中：
$\{\begin{array}{l}∠ PBO=∠ CRP\\ ∠ BOP=∠ RPC\\ OP=PC\end{array} $
∴△BOP≌△RPC(AAS)，得PR=OB=2，RC=BP。
设P(-2,m)，则BP=m，故RC=m，得C点坐标为(m-2, m+2)。
∵点C关于OP的对称点为M，
∴PM=PC，OP⊥CM，
又
∵∠CPO=90°，
∴C、P、M三点共线，即P为CM中点，
由中点坐标公式得M点坐标为(-m-2, m-2)。
∵AR=BR-AB=BP+PR-AB=m=RC，∠ARC=90°，
∴△CAR是等腰直角三角形，∠RAC=45°，
易得∠BAO=45°，故∠CAO=180°-45°-45°=90°，即A为CN中点，
同理得N点坐标为(-m-2, -m+2)。
对比M、N坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此点M与点N关于x轴对称。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,-2)}$；$\boldsymbol{(0,2)}$
(2) $\boldsymbol{1}$
(3) 点M与点N关于x轴对称，证明成立。
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的判定与性质；点的坐标变换
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查旋转、轴对称的几何性质，解题时需合理构造辅助线证明全等，通过参数表示点的坐标推导对称关系，兼顾几何推理和代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.55

【分析】
本题围绕平面直角坐标系的两个新定义展开，解题核心是先明确定义内涵：①“长距”是点到x轴、y轴距离的较大值，其中点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值；②“完美点”是点到x轴、y轴距离相等，即横、纵坐标的绝对值相等。
(1) 先分别计算点A到两坐标轴的距离，取较大值即为长距；
(2) 根据“完美点”的定义列横、纵坐标绝对值相等的方程，解绝对值方程即可求a的值；
(3) 先结合点C在第二象限的坐标特征（横坐标为负、纵坐标为正）和“长距为4”的条件列方程求b的值，再代入得到点D的坐标，验证其横、纵坐标绝对值是否相等即可。
【解析】
(1) 点A(2,-3)到x轴的距离为$\vert -3\vert=3$，到y轴的距离为$\vert2\vert=2$，因为$3＞2$，根据“长距”定义，点A的“长距”为3。
(2) 因为点B$(5-3a,-2)$是“完美点”，所以它到x轴、y轴的距离相等，即$\vert5-3a\vert=\vert-2\vert=2$。
分两种情况解方程：
① 当$5-3a=2$时，解得$a=1$；
② 当$5-3a=-2$时，解得$a=\frac{7}{3}$。
因此a的值为1或$\frac{7}{3}$。
(3) 已知点C$(2-3b,3)$在第二象限，所以其横坐标$2-3b＜0$，纵坐标$3＞0$。
又因为点C的“长距”为4，而纵坐标的绝对值为$3＜4$，所以横坐标的绝对值为4，即$\vert2-3b\vert=4$，结合$2-3b＜0$可得$2-3b=-4$，解得$b=2$。
将$b=2$代入点D的坐标，得横坐标为$4b-3=4×2-3=5$，纵坐标为$-5$，点D到x轴的距离为$\vert-5\vert=5$，到y轴的距离为$\vert5\vert=5$，二者相等，因此点D是“完美点”。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{a=1}$或$\boxed{a=\frac{7}{3}}$；(3) 点D是“完美点”，理由见解析。
【知识点】
点的坐标特征，绝对值方程，新定义应用
【点评】
本题以新定义为背景考查平面直角坐标系的基础性质，解题关键是将新定义转化为熟悉的坐标运算和方程求解，侧重考查对新概念的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75

【分析】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确把握“勾股距”“等距三角形”的定义，结合坐标特征、绝对值性质分步求解：
(1) 原点O坐标为(0,0)，直接代入“勾股距”公式即可计算$d_{OA}$；
(2) 先计算$d_{AB}$的取值，结合点C在第三象限的坐标特征（横、纵坐标均为负），去绝对值得到$d_{OC}$与m、n的关系，根据$d_{OC}=2d_{AB}$求出$m+n$的取值，再分别计算$d_{AC}$、$d_{BC}$，最后验证三个勾股距是否满足“两边之和等于第三边”，判断是否为等距三角形；
(3) 点C在x轴上则纵坐标为0，分$m＜2$、$2≤m＜4$、$m≥4$三类区间去绝对值，逐一按照等距三角形的定义列方程验证，舍去不符合区间的解，最终得到m的取值范围。
【解析】
(1) 原点O坐标为(0,0)，则$d_{OA}=|2-0|+|3-0|=2+3=5$；
(2) 由题意，得$d_{AB}=|4-2|+|2-3|=3$，所以$2d_{AB}=6$。因为点$C(m,n)$在第三象限，所以$m＜0,n＜0$，所以$d_{OC}=|m-0|+|n-0|=|m|+|n|=-m-n=-(m+n)$。因为$d_{OC}=2d_{AB}$，所以$-(m+n)=6$，即$m+n=-6$。所以$d_{AC}=|2-m|+|3-n|=2-m+3-n=5-(m+n)=5+6=11$，$d_{BC}=|4-m|+|2-n|=4-m+2-n=6-(m+n)=6+6=12$。因为$3+11≠12$，$11+12≠3$，$12+3≠11$，所以$△ ABC$不是“等距三角形”。
(3) 因为点$C(m,n)$在x轴上，所以点C的坐标为$(m,0)$，则$d_{AC}=|2-m|+3$，$d_{BC}=|4-m|+2$，由(2)得$d_{AB}=3$。
① 当$m＜2$时，$d_{AC}=2-m+3=5-m$，$d_{BC}=4-m+2=6-m$。若$△ ABC$是“等距三角形”，则$d_{AC}+d_{BC}=d_{AB}$或$d_{AC}+d_{AB}=d_{BC}$或$d_{BC}+d_{AB}=d_{AC}$。当$d_{AC}+d_{BC}=d_{AB}$时，$5-m+6-m=3$，解得$m=4$(不符合题意，舍去)；又$5-m+3=8-m≠6-m$，$6-m+3=9-m≠5-m$，所以$d_{AC}+d_{AB}≠d_{BC}$且$d_{BC}+d_{AB}≠d_{AC}$，即$△ ABC$不是“等距三角形”，故$m＜2$时不符合要求；
② 当$2≤m＜4$时，$d_{AC}=m-2+3=m+1$，$d_{BC}=4-m+2=6-m$。若$△ ABC$是“等距三角形”，同理可得$6-m+3=m+1$或$m+1+3=6-m$，解得$m=4$(不符合题意，舍去)或$m=1$(不符合题意，舍去)；当$d_{AC}+d_{BC}=d_{AB}$时，$m+1+6-m=7≠3$，该情况不成立，故$2≤m＜4$时不符合要求；
③ 当$m≥4$时，$d_{AC}=m+1$，$d_{BC}=m-2$。若$△ ABC$是“等距三角形”，同理可得：$m+1+m-2=3$时，解得$m=2$(不符合题意，舍去)；$m+1+3≠m-2$，该情况不成立；$m-2+3=m+1$恒成立，即$d_{BC}+d_{AB}=d_{AC}$，满足等距三角形定义，故$m≥4$时符合要求。
综上，$△ ABC$是“等距三角形”时，m的取值范围是$m≥4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{d_{AC}=11}$，$\boldsymbol{△ ABC}$不是“等距三角形”；(3) $\boldsymbol{m≥4}$
【知识点】
新定义运算，绝对值化简，分类讨论
【点评】
本题以新定义为载体，结合平面直角坐标系坐标特征、绝对值化简考查知识的综合应用能力，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，分类讨论时要注意对应区间内绝对值去符号的正确性，验证等距三角形时需穷尽三种两边之和的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6