【分析】
解决本题需分别探究点的横坐标和纵坐标的变化规律：首先观察已知点的横坐标，总结横坐标与点的序号n的对应关系；再观察纵坐标的变化特征，发现纵坐标存在循环周期，最后通过计算2026对应的周期位置确定纵坐标，即可得到目标点的坐标。
【解析】
1. 推导横坐标规律：
观察已知点的横坐标：$A_1$横坐标为$2=2×1$，$A_2$横坐标为$4=2×2$，$A_3$横坐标为$6=2×3$，$A_4$横坐标为$8=2×4$……由此可得，点$A_n$的横坐标为$2n$。
因此点$A_{2026}$的横坐标为$2×2026=4052$，可排除横坐标为4050的A、B选项。
2. 推导纵坐标规律：
观察已知点的纵坐标：$A_1$纵坐标为4，$A_2$纵坐标为4，$A_3$纵坐标为0，$A_4$纵坐标为-4，$A_5$纵坐标为-4，$A_6$纵坐标为0，$A_7$纵坐标为4……可见纵坐标每6个点为一个循环周期，周期内的纵坐标依次为：4，4，0，-4，-4，0。
计算$2026÷6=337······4$，即$A_{2026}$的纵坐标和周期内第4个点的纵坐标一致，和$A_4$的纵坐标相同，为-4。
综上，点$A_{2026}$的坐标为$(4052,-4)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
坐标规律探究，周期循环计算
【点评】
本题是典型的坐标规律探究题，解题核心是将点的横、纵坐标拆分后分别找规律，遇到存在周期性的规律时，准确计算目标序号对应的周期位置即可快速解题，该思路可迁移到所有同类规律探究问题中。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先观察坐标的排列特征，第一步先统计不同纵坐标对应的点的数量，可发现纵坐标为n时，点的个数为2n-1个；第二步计算前n个纵坐标的总点数，利用等差数列求和可得出前n个纵坐标的总点数为n²，方便快速定位所求点的纵坐标；第三步判断不同奇偶性纵坐标的点的排列方向，以及横坐标的变化范围：奇数纵坐标的点从右往左排列，偶数纵坐标的点从左往右排列，纵坐标为n的点横坐标范围是-(n-1)到n-1；第四步找到接近2026的平方数，确定第2026个点的纵坐标，再结合排列方向确定横坐标即可。
【解析】
观察点的排列规律可得：
1. 纵坐标为$n$的点共有$(2n-1)$个，前$n$个纵坐标的点的总个数为$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$；
2. 当$n$为奇数时，该纵坐标的点从右往左排列；当$n$为偶数时，该纵坐标的点从左往右排列，且纵坐标为$n$的点的横坐标从左到右依次为$-n+1、-n+2、\dots、0、\dots、n-1$。
因为$45^2=2025$，即前45个纵坐标共有2025个点，因此第2026个点是纵坐标为46的第一个点。
又因为46是偶数，该纵坐标的点从左往右排列，第一个点的横坐标为$-46+1=-45$，因此第2026个点的坐标为$(-45,46)$。
【答案】
C
【知识点】
点的坐标规律探究，等差数列求和，平方数应用
【点评】
本题属于平面直角坐标系中的规律探究类典型题，解题核心是通过观察已知点的坐标特征，归纳出点的数量、排列方向及坐标的变化规律，结合数列求和快速定位所求点的位置，对学生的观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决本题首先需要明确电子蚂蚁的爬行规律：沿长方形ABCD循环爬行，因此首先计算长方形周长得到爬行一个周期的时长，再用总时间除以周期时长得到余数，根据余数确定蚂蚁在一个周期内的位置，最终计算对应点坐标即可。
【解析】
首先计算长方形各边的长度：
已知$A(1,1)$，$B(-1,1)$，两点纵坐标相同，因此$AB$的长度为$1-(-1)=2$；
$A(1,1)$，$D(1,-2)$，两点横坐标相同，因此$AD$的长度为$1-(-2)=3$；
同理可得$CD=2$，$BC=3$，因此长方形$ABCD$的周长为$2×(2+3)=10$，即电子蚂蚁每爬行10秒就回到起点$B$，完成1次循环。
计算总时间对应的周期余数：$2026÷10=202······6$，即蚂蚁爬行202个完整周期后，又额外爬行了6秒。
分析额外爬行的位置：
从$B$出发，$B$到$A$需要2秒，$A$到$D$需要3秒，前$2+3=5$秒刚好爬行到$D$点$(1,-2)$，剩余$6-5=1$秒，蚂蚁从$D$点沿$CD$向左爬行，每秒移动1个单位长度，因此向左移动1个单位后，坐标为$(1-1,-2)$，即$(0,-2)$。
【答案】
A
【知识点】
点的坐标规律，周期问题，两点间距离计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查规律探究能力，解题的关键是先求出爬行的周期，再结合余数判断对应位置，是坐标系规律类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这道题，首先需要梳理点的平移规律：观察已知的平移过程可知，从点$A_{n-1}$平移得到点$A_n$时，平移的单位长度为$n$，且平移方向每4次为一个周期：①当$n$除以4余1时，向右、向上各平移$n$个单位；②当$n$除以4余2时，向左、向上各平移$n$个单位；③当$n$除以4余3时，向左、向下各平移$n$个单位；④当$n$能被4整除时，向右、向下各平移$n$个单位。我们可以按照该规律逐步推导到$A_{10}$的坐标。
【解析】
根据题意依次计算各点坐标：
已知$A_4(0,-4)$，
1. 得到$A_5$时$n=5$，向右平移5个单位、向上平移5个单位：
$x=0+5=5$，$y=-4+5=1$，即$A_5(5,1)$
2. 得到$A_6$时$n=6$，向左平移6个单位、向上平移6个单位：
$x=5-6=-1$，$y=1+6=7$，即$A_6(-1,7)$
3. 得到$A_7$时$n=7$，向左平移7个单位、向下平移7个单位：
$x=-1-7=-8$，$y=7-7=0$，即$A_7(-8,0)$
4. 得到$A_8$时$n=8$，向右平移8个单位、向下平移8个单位：
$x=-8+8=0$，$y=0-8=-8$，即$A_8(0,-8)$
5. 得到$A_9$时$n=9$，向右平移9个单位、向上平移9个单位：
$x=0+9=9$，$y=-8+9=1$，即$A_9(9,1)$
6. 得到$A_{10}$时$n=10$，向左平移10个单位、向上平移10个单位：
$x=9-10=-1$，$y=1+10=11$，即$A_{10}(-1,11)$
【答案】
$(-1,11)$
【知识点】
点的平移规律；坐标规律探究；平面直角坐标系
【点评】
本题是典型的坐标规律探究题，解题核心是先从已知平移过程中总结出平移单位、平移方向的变化规律，再按规律逐步推导即可，计算时要注意平移方向对应的坐标加减符号，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先要理解“伴随点”的定义规则，先根据规则依次计算出前几个点的坐标，观察坐标的变化规律，找到循环周期；再用所求点的序号除以周期，根据余数判断该点对应的是循环中的第几个坐标，即可得到结果。
【解析】
已知点$A_1$的坐标为$(a,b)$，根据伴随点的定义依次计算：
$A_2$是$A_1$的伴随点，故$A_2(-b+1,a+1)$；
$A_3$是$A_2$的伴随点，将$A_2$的坐标代入规则，横坐标为$-(a+1)+1=-a$，纵坐标为$(-b+1)+1=-b+2$，即$A_3(-a,-b+2)$；
$A_4$是$A_3$的伴随点，横坐标为$-(-b+2)+1=b-1$，纵坐标为$-a+1$，即$A_4(b-1,-a+1)$；
$A_5$是$A_4$的伴随点，横坐标为$-(-a+1)+1=a$，纵坐标为$(b-1)+1=b$，即$A_5(a,b)$，与$A_1$坐标相同。
由此可知，点$A_n$的坐标每4个为一个循环周期，周期内顺序为$(a,b)$、$(-b+1,a+1)$、$(-a,-b+2)$、$(b-1,-a+1)$。
计算$2026÷4=506······2$，余数为2，说明$A_{2026}$的坐标与周期内第2个点$A_2$的坐标一致，为$(-b+1,a+1)$。
【答案】
B
【知识点】
新定义坐标变换，坐标规律探究，周期问题
【点评】
本题结合新定义考查坐标的变化规律，核心是通过计算前若干个点的坐标归纳出循环周期，再结合周期确定目标点的坐标，能够有效锻炼学生的逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题是结合新定义的坐标规律探究题，解题思路可分为三步：首先根据题目给出的“笛卡尔变换”规则，从初始点$A_0$出发，依次计算前若干次变换后得到的点坐标；其次观察计算出的坐标，找到坐标的循环周期；最后用总变换次数除以周期，根据余数确定2026次变换后对应的点坐标即可。
【解析】
已知点$A_0$的坐标为$(2,0)$，变换规则为$P(a,b)\to P_1(b+1,-a+1)$，依次计算前几次变换的坐标：
第1次变换：$A_1$的横坐标为$0+1=1$，纵坐标为$-2+1=-1$，即$A_1(1,-1)$；
第2次变换：$A_2$的横坐标为$-1+1=0$，纵坐标为$-1+1=0$，即$A_2(0,0)$；
第3次变换：$A_3$的横坐标为$0+1=1$，纵坐标为$-0+1=1$，即$A_3(1,1)$；
第4次变换：$A_4$的横坐标为$1+1=2$，纵坐标为$-1+1=0$，即$A_4(2,0)$，与$A_0$坐标一致。
由此可得，点的坐标每4次变换为一个循环周期，循环顺序为$(1,-1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,0)$。
计算$2026÷4=506······2$，即余数为2，说明经过2026次变换后的坐标与第2次变换后的$A_2$坐标相同，为$(0,0)$。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，坐标变化规律，周期循环
【点评】
本题结合数学史背景的新定义，考查坐标规律的探究能力，解题核心是通过计算前几个点的坐标找到循环周期，是平面直角坐标系规律类题型的典型考法，掌握规律探究的一般方法就能轻松解决。
【难度系数】
0.7