【分析】
本题是几何动态探究类题目，核心解题思路如下：首先利用已知的∠DAE=∠BAC，通过角的和差运算得到相等的夹角∠BAD=∠CAE；再结合AB=AC、AD=AE的边相等条件，用SAS判定△BAD≌△CAE，得到对应角相等；最后结合三角形外角性质或平角定义，推导∠BAC和∠DCE的数量关系，注意点D在直线BC上有3种不同位置，需要分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 已知∠DAE=∠BAC，因此∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ BAD=∠ CAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴$△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，得$∠ ABD=∠ ACE$。
根据三角形外角性质，$∠ ACD=∠ ABD+∠ BAC=∠ ACE+∠ DCE$，消去相等的$∠ ABD$和$∠ ACE$，可得$∠ DCE=∠ BAC=25°$。
(2)① 数量关系为$\boldsymbol{α=β}$，理由如下：
∵$∠ DAE=∠ BAC$，
∴$∠ DAE+∠ CAD=∠ BAC+∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ BAD=∠ CAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴$△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，得$∠ ABD=∠ ACE$。
∵$∠ ACD$是$△ ABC$的外角，
∴$∠ ACD=∠ ABD+∠ BAC$，
同时$∠ ACD=∠ ACE+∠ DCE$，
∴$∠ ABD+∠ BAC=∠ ACE+∠ DCE$，
又
∵$∠ ABD=∠ ACE$，
∴$∠ BAC=∠ DCE$，即$α=β$。
② 分三种情况讨论：
＜1＞ 当点D在线段BC上时，$\boldsymbol{α+β=180°}$，理由：
∵$∠ DAE=∠ BAC$，
∴$∠ DAE-∠ CAD=∠ BAC-∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ BAD=∠ CAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴$△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，得$∠ ABC=∠ ACE$。
∵$∠ ACF$是$△ ABC$的外角，
∴$∠ ACF=∠ ABC+∠ BAC$，
同时$∠ ACF=∠ ACE+∠ ECF$，
∴$∠ ABC+∠ BAC=∠ ACE+∠ ECF$，
又
∵$∠ ABC=∠ ACE$，
∴$∠ BAC=∠ ECF$。
∵$∠ DCE+∠ ECF=180°$，
∴$∠ DCE+∠ BAC=180°$，即$α+β=180°$。
＜2＞ 当点D在线段BC的延长线上时，由(2)①可得$α=β$。
＜3＞ 当点D在线段BC的反向延长线上时，$\boldsymbol{α=β}$，理由：
∵$∠ DAE=∠ BAC$，
∴$∠ DAE - ∠ BAE = ∠ BAC - ∠ BAE$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ BAD=∠ CAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴$△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，得$∠ ABD=∠ ACE$。
∵$∠ ABD$是$△ ABC$的外角，
∴$∠ ABD=∠ BAC+∠ ACB$，
同时$∠ ACE=∠ ACB+∠ DCE$，
∴$∠ BAC+∠ ACB=∠ ACB+∠ DCE$，
消去$∠ ACB$可得$∠ BAC=∠ DCE$，即$α=β$。
【答案】
(1) $\boxed{25°}$
(2) ① $\boldsymbol{α=β}$，理由如下：因为 $∠ DAE=∠ BAC$, 所以 $∠ DAE+∠ CAD=∠ BAC+∠ CAD$, 即 $∠ BAD=∠ CAE$. 又 $AB=AC,AD=AE$, 所以 $△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠ ABD=∠ ACE$. 因为 $∠ ACD=∠ ABD+∠ BAC=∠ ACE+∠ DCE$, 所以 $∠ BAC=∠ DCE$. 因为 $∠ BAC=α,∠ DCE=β$, 所以 $α=β$.
② 当点 D 在线段 BC 上时,$\boldsymbol{α+β=180°}$;当点 D 在线段 BC 的延长线或反向延长线上时,$\boldsymbol{α=β}$. 理由如下:当点 D 在线段 BC 上时,
. 因为 $∠ DAE=∠ BAC$, 所以 $∠ DAE-∠ CAD=∠ BAC-∠ CAD$, 即 $∠ BAD=∠ CAE$. 又 $AB=AC,AD=AE$, 所以 $△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠ ABC=∠ ACE$. 因为 $∠ ACF=∠ ABC+∠ BAC=∠ ACE+∠ ECF$, 所以 $∠ BAC=∠ ECF$. 因为 $∠ DCE+∠ ECF=180°$, 所以 $∠ DCE + ∠ BAC = 180°$. 又 $∠ BAC = α,∠ DCE=β$, 所以 $α+β=180°$;当点 D 在线段 BC 的延长线上时,由(2)①,得 $α=β$;当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时,
. 因为 $∠ DAE=∠ BAC$, 所以 $∠ DAE - ∠ BAE = ∠ BAC - ∠ BAE$, 即 $∠ BAD=∠ CAE$. 又 $AB=AC,AD=AE$, 所以 $△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠ ABD=∠ ACE$. 因为 $∠ ABD=∠ BAC+∠ ACB,∠ ACE=∠ ACB+∠ DCE$, 所以 $∠ BAC=∠ DCE$. 因为 $∠ BAC=α,∠ DCE=β$, 所以 $α=β$.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题属于动态几何探究题，核心考查全等三角形的判定及性质，解题时需要分类讨论点D在直线BC上的所有位置，避免漏解，同时要熟练运用角的和差关系、三角形外角性质推导角的数量关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
