4. 如图，$∠ AOB$是一个直角，作射线$OC$，再分别作$∠ AOC$和$∠ BOC$的平分线$OD$和$OE$.
(1)【尝试】若$∠ BOC=60°$，则$∠ DOE$的度数是
45°
；
(2)【猜想】若射线$OC$在$∠ AOB$内部绕点$O$旋转，则$∠ DOE$的度数是
45°
；
(3)【验证】请说明(2)中你的猜想.
答案：(1)45°
(2)45°
(3)解:因为OD,OE分别平分∠AOC和∠BOC,
所以∠COD=1/2∠AOC,∠COE=1/2∠BOC,
所以∠COD+∠COE=1/2∠AOC+1/2∠BOC,
即∠DOE=1/2(∠AOC+∠BOC)=1/2∠AOB.
因为∠AOB是直角,即∠AOB=90°,
所以∠DOE=45°.
5. 如图，O为直线AD上一点，OB是∠AOC内部的一条射线且满足∠AOB与∠AOC互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线.
(1)∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；
(2)若∠AOB=30°，求∠MON的度数；
(3)若∠MON=α，求∠AOC的度数.(用含α的式子表示)
答案：解:(1)相等.理由如下:
因为∠AOC与∠AOB互补,
所以∠AOC+∠AOB=180°.
因为∠AOC+∠COD=180°,
所以∠COD=∠AOB.
(2)因为∠AOB与∠AOC互补,∠AOB=30°,
所以∠AOC=180°-30°=150°.
因为OM为∠AOC的平分线,
所以∠AOM=75°.
因为ON为∠AOB的平分线,
所以∠AON=15°,
所以∠MON=∠AOM-∠AON=75°-15°=60°.
(3)因为∠MON=α,
所以∠AOM-∠AON=α,
所以1/2∠AOC-1/2∠AOB=α,
所以∠AOC-∠AOB=2α,
所以∠AOC-(180°-∠AOC)=2α,
所以2∠AOC=180°+2α,
所以∠AOC=90°+α.
6. 如图①，在∠AOB的内部画射线OC，射线OC把∠AOB分成两个角，分别为∠AOC和∠BOC，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“3等分线”。
(1)若∠AOB=90°，射线OC为∠AOB的“3等分线”，则∠AOC的度数为
30°或60°
；
(2)如图②，∠AOB=60°，过点O在∠AOB外部作射线OP，若OA，OP，OB三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“3等分线”，求∠AOP(∠AOP≤180°)的度数。
答案：(1)30°或60°
(2)解:①当OA在∠BOP的内部时,如
.
根据“3等分线”的定义可得∠AOP=1/2∠AOB=30°或∠AOP=2∠AOB=120°.
②当OB在∠AOP的内部时,如
.
根据“3等分线”的定义可得∠BOP=1/2∠AOB=30°或∠BOP=2∠AOB=120°,
此时∠AOP=30°+60°=90°或∠AOP=120°+60°=180°.
综上所述,∠AOP的度数是30°或90°或120°或180°.
