1. 已知下列一组数: $1, \frac{3}{4}, \frac{5}{9}, \frac{7}{16}, \frac{9}{25}, ···$, 则第 $n$ 个数为 $\quad (\quad)$
A.$\frac{n}{2n-1}$
B.$\frac{n^2 -4}{n^2}$
C.$\frac{2n-1}{n^2}$
D.$\frac{2n+1}{n^2}$
答案：1.C
2.(2025·云南)按一定规律排列的代数式:$a,3a,5a,7a,9a,···$,第$n$个代数式是 (
A
)
A.$(2n-1)a$
B.$(2n+1)a$
C.$(n+1)a$
D.$2025a$
答案：2.A
3.观察下列算式：$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,···$.用你发现的规律写出$2^{2024}$的末位数字：
6
.
答案：3.6
4.观察下面三行数：
-3,9,-27,81,-243,…；
-5,7,-29,79,-245,…；
1,-3,9,-27,81,….
(1)第一行数的第n个数是
$(-3)^n$
；
(2)第二、三行的数与第一行对应的数分别有什么关系？
(3)取每行第6个数计算它们的和.
答案：4.(1)$(-3)^n$
(2)第二行的数是第一行对应的数减去2得到的，第三行的数是第一行对应的数除以－3得到的.
(3)由(1)(2)可得，第一行的第6个数为$(-3)^6$，第二行的第6个数为$(-3)^6-2$，第三行的第6个数为$(-3)^5$，
$(-3)^6+(-3)^6-2+(-3)^5=729+729-2+(-243)=1213.$
5. 对于数133，规定第一次操作为$1^3 + 3^3 + 3^3 = 55$，第二次操作为$5^3 + 5^3 = 250$。按此规律操作下去，则第2024次操作后得到的数是（
A
）
A.250
B.133
C.55
D.24
答案：5.A
6.(2025·东台期中)求$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{2022}$的值，可令$S=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{2022}$，则$2S=2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{2023}$，因此$2S-S=2^{2023}-1$.仿照以上推理，计算$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2022}$的值为（
C
）
A.$5^{2022}-1$
B.$5^{2023}-1$
C.$\frac{5^{2023}-1}{4}$
D.$\frac{5^{2022}-1}{4}$
答案：6.C
7. 已知下列等式：$2^2 - 1^2 = 3$；$3^2 - 2^2 = 5$；$4^2 - 3^2 = 7$……
(1) 请仔细观察前三个等式的规律，写出第9个等式：
$10^2-9^2=19$
；
(2) 请你找出规律，第n个等式为
$(n+1)^2-n^2=2n+1$
；(用含n的代数式表示)
(3) 利用(2)中发现的规律计算：$1 + 3 + 5 + \dots + 101$。
答案：7.(1)$10^2-9^2=19$
(2)$(n+1)^2-n^2=2n+1$
(3)解:因为当$2n+1=101$时，$n=50$，
所以$1+3+5+\dots+101$
$=1+2^2-1^2+3^2-2^2+\dots+51^2-50^2$
$=51^2=2601.$
