1. 小华在课外书中看到这样一道题：
计算：$\frac{1}{36}÷(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})÷\frac{1}{36}$。
她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题。
(1)前后两部分之间存在着什么关系？
(2)先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分。
(3)利用(1)中的关系，直接写出另一部分的结果。
(4)根据以上分析，求出原式的结果。
答案：(1)前后两部分互为倒数.
(2)先计算后一部分比较简便.
$(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})÷\frac{1}{36}=(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})×36=$
$9+3-14-1=-3.$
(3)因为前后两部分互为倒数,所以$\frac{1}{36}÷(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-$
$\frac{1}{36})=-\frac{1}{3}.$
(4)根据以上分析,可知原式$=-\frac{1}{3}+(-3)=-3\frac{1}{3}.$
解析：
【分析】
(1) 观察算式前后两部分，将括号内的式子看作一个整体，可发现两部分的被除数和除数恰好互换位置，结合倒数的定义即可判断二者关系；
(2) 后半部分是括号整体除以$\frac{1}{36}$，根据有理数除法法则可转化为括号内各数乘36，用乘法分配律计算无需先通分，比计算前半部分更简便；
(3) 互为倒数的两个数乘积为1，已知后半部分的结果，用1除以后半部分结果即可直接得到前半部分的结果；
(4) 最后将两部分的结果相加，即可求出原式的最终值。
【解析】
(1) 设$A=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}$，则前半部分为$\frac{1}{36}÷A$，后半部分为$A÷\frac{1}{36}$，二者被除数和除数交换位置，因此互为倒数。
(2) 先计算后一部分更简便，计算过程如下：
$\begin{split}&(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})÷\frac{1}{36}\\=&(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})×36\\=&\frac{1}{4}×36+\frac{1}{12}×36-\frac{7}{18}×36-\frac{1}{36}×36\\=&9+3-14-1\\=&-3\end{split}$
(3) 因为前后两部分互为倒数，乘积为1，因此前半部分结果为$1÷(-3)=-\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{36}÷(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})=-\frac{1}{3}$。
(4) 原式为两部分的和，因此：
$\begin{split}\mathrm{原式}&=-\frac{1}{3}+(-3)\\&=-3\frac{1}{3}\end{split}$
【答案】
(1) 前后两部分互为倒数；
(2) 先计算后一部分比较简便，结果为$\boldsymbol{-3}$；
(3) 另一部分的结果为$\boldsymbol{-\frac{1}{3}}$；
(4) 原式的结果为$\boldsymbol{-3\frac{1}{3}}$（或$-\frac{10}{3}$）。
【知识点】
倒数的性质，有理数除法，乘法分配律
【点评】
本题通过阶梯式设问引导学生观察式子结构，利用倒数关系和乘法分配律简化有理数混合运算，可大幅减少通分的计算量，解题时需注意负数的倒数符号与原数一致，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
2. [问题初探]在数学活动课上，李老师给出如下问题：计算：$(-\frac{1}{30}) ÷ (\frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5})$。
①小明写出如下解题过程：
原式$=(-\frac{1}{30}) ÷ [\frac{2}{3} + \frac{1}{6} + (-\frac{1}{10}) + (-\frac{2}{5})] = (-\frac{1}{30}) ÷ [\frac{5}{6} + (-\frac{1}{2})] = (-\frac{1}{30}) ÷ \frac{1}{3} = -\frac{1}{10}$。
②小强写出如下解题过程：原式的倒数为
$(\frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5}) ÷ (-\frac{1}{30}) = (\frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5}) × (-30) = \frac{2}{3} × (-30) + (-\frac{1}{10}) × (-30) + \frac{1}{6} × (-30) + (-\frac{2}{5}) × (-30) = -20 + 3 -5 +12 = -10$，则原式$= -\frac{1}{10}$。
[类比分析](1)请你选择一名同学的方法，计算：$(-\frac{1}{54}) ÷ (\frac{5}{27} + \frac{2}{3} - \frac{4}{9})$；
[学以致用](2)计算：$(1\frac{2}{3} - \frac{5}{6} - \frac{10}{9}) ÷ (-\frac{5}{6}) + (-\frac{5}{6}) ÷ (1\frac{2}{3} - \frac{5}{6} - \frac{10}{9})$。
答案：(1)根据题意可知,原式的倒数为$(\frac{5}{27}+\frac{2}{3}-\frac{4}{9})÷$
$(-\frac{1}{54})=(\frac{5}{27}+\frac{2}{3}-\frac{4}{9})×(-54)=\frac{5}{27}×(-54)+$
$\frac{2}{3}×(-54)-\frac{4}{9}×(-54)=-10-36+24=-22$,则原
式$=-\frac{1}{22}.$
(2)$(1\frac{2}{3}-\frac{5}{6}-\frac{10}{9})÷(-\frac{5}{6})=(\frac{5}{3}-\frac{5}{6}-\frac{10}{9})×$
$(-\frac{6}{5})= \frac{5}{3} × (-\frac{6}{5})-\frac{5}{6} × (-\frac{6}{5})-\frac{10}{9} ×$
$(-\frac{6}{5})=-2+1+\frac{4}{3}=\frac{1}{3},$
则$(-\frac{5}{6})÷(1\frac{2}{3}-\frac{5}{6}-\frac{10}{9})=3,$
所以原式$=\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}.$
解析：
【分析】
这道题可运用倒数法简化有理数除法运算：(1)观察式子可知除数是多个分数的加减运算，被除数是单个分数，参照小强的方法先求原式的倒数，将除法转化为乘法后利用乘法分配律计算，再对结果取倒数即可得到原式的值，比先通分计算除数的和差更简便；(2)式子由两部分组成，且两部分互为倒数，先计算第一部分的除法，同样转化为乘法用分配律计算，再得到第二部分的结果，最后求和即可。
【解析】
(1) 先求原式的倒数：
$(\frac{5}{27}+\frac{2}{3}-\frac{4}{9})÷(-\frac{1}{54})$
$=(\frac{5}{27}+\frac{2}{3}-\frac{4}{9})×(-54)$
根据乘法分配律展开计算：
$=\frac{5}{27}×(-54)+\frac{2}{3}×(-54)-\frac{4}{9}×(-54)$
$=-10-36+24$
$=-22$
因此原式为$-22$的倒数，即原式$=-\frac{1}{22}$。
(2) 先计算第一部分$(1\frac{2}{3} - \frac{5}{6} - \frac{10}{9}) ÷ (-\frac{5}{6})$：
先将带分数化为假分数，再把除法转化为乘法：
$=(\frac{5}{3}-\frac{5}{6}-\frac{10}{9})×(-\frac{6}{5})$
根据乘法分配律展开计算：
$=\frac{5}{3}×(-\frac{6}{5}) - \frac{5}{6}×(-\frac{6}{5}) - \frac{10}{9}×(-\frac{6}{5})$
$=-2 + 1 + \frac{4}{3}$
$=\frac{1}{3}$
因为$(-\frac{5}{6}) ÷ (1\frac{2}{3} - \frac{5}{6} - \frac{10}{9})$是第一部分的倒数，所以该部分结果为$3$。
因此原式$=\frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$。
【答案】
(1)$-\frac{1}{22}$；(2)$\frac{10}{3}$
【知识点】
有理数的除法，乘法分配律，倒数的性质
【点评】
本题重点考查倒数法在有理数混合运算中的简便运用，当遇到除数为多个分数的和差、被除数为单个数的除法运算时，采用倒数法可避免复杂的通分过程，大幅降低计算量，解题时需注意运算符号的处理，以及互为倒数的两数乘积为1的性质的正确应用。
【难度系数】
0.7
