1. 阅读材料：
计算：$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{99}+5^{100}$。
观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减，易于计算。
解：设$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{99}+5^{100}$，①
则$5S=5+5^2+\dots+5^{100}+5^{101}$，②
②$-$①，得$4S=5^{101}-1$，则$S=\frac{5^{101}-1}{4}$。
上面的计算方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中都等于5），那么这列数的求和问题，均可用错位相减法来解决。
请尝试用错位相减法计算：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2000}}$。
答案：解:设 $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2000}}$,①
则$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots+\frac{1}{2^{2001}}$,②
①$-$②,得$\frac{1}{2}S=1-\frac{1}{2^{2001}}$,
解得 $S=2-\frac{1}{2^{2000}}$.
解析：
【分析】
观察所求算式，可发现从第二项起，每一项都是前一项的$\frac{1}{2}$，符合材料给出的错位相减法的使用条件。解题时先仿照示例设该算式的总和为$S$，再将等式两边同时乘公比$\frac{1}{2}$得到新的等式，将两个等式作差后中间重复的项会相互抵消，整理剩余的项即可求出$S$的值。
【解析】
解：设$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{2000}}$，①
则$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots+\frac{1}{2^{2001}}$，②
①$-$②，得：
$S-\frac{1}{2}S=1-\frac{1}{2^{2001}}$
即$\frac{1}{2}S=1-\frac{1}{2^{2001}}$
等式两边同时乘2，解得：
$S=2-\frac{1}{2^{2000}}$
【答案】
$2-\frac{1}{2^{2000}}$
【知识点】
错位相减法，乘方运算，等式的性质
【点评】
本题属于材料阅读类题型，核心考查对新方法的迁移应用能力，解题的关键是准确判断数列的公比，构造对应等式后作差消去重复项，计算时需注意首尾剩余的项，避免因漏项出错。
【难度系数】
0.7
2. 阅读材料：
求值：$1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{20}$。
解：设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{20}$①，将等式两边同时乘2，得
$2S=2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{20}+2^{21}$②，
②$-$①，得$S=2^{21}-1$，
即$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{20}=2^{21}-1$。
请你仿照此法计算：
(1)$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{100}$；
(2)$1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$。(n为正整数)
答案：(1)设 $S=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{100}$,①
将等式两边同时乘2，
得 $2S=2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{101}$,②
②$-$①,得 $S=2^{101}-1$,
即 $S=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{100}=2^{101}-1$.
(2)设 $S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$,①
将等式两边同时乘3,得
$3S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+\dots+3^{n+1}$,②
②$-$①,得 $3S-S=3^{n+1}-1$,
即 $2S=3^{n+1}-1$,
故 $S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$.
解析：
【分析】
这是一道材料模仿类求和题，解题核心是掌握题目给出的错位相减方法，思路如下：①对于每一项都是前一项固定倍数的求和式，先设整个式子的和为S；②将等式两边同时乘这个固定倍数，得到新的等式；③用新等式减去原等式，中间大部分相同项会相互抵消，仅剩首尾少数项；④整理化简即可求出原式的和。第一问和例题规律一致，直接模仿即可；第二问倍数变为3，相减后S的系数为2，最后要将系数化为1得到结果。
【解析】
(1)设 $S=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{100}$ ①，
将等式两边同时乘2，得 $2S=2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{101}$ ②，
②$-$①，得 $2S - S = 2^{101} - 1$，即 $S=2^{101}-1$。
(2)设 $S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$ ①，
将等式两边同时乘3，得 $3S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+\dots+3^{n+1}$ ②，
②$-$①，得 $3S - S = 3^{n+1} - 1$，即 $2S=3^{n+1}-1$，
系数化为1得 $S=\frac{3^{n+1}-1}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{2^{101}-1}$
(2) $\boxed{\dfrac{3^{n+1}-1}{2}}$
【知识点】
1. 错位相减法求和 2. 乘方运算 3. 等式的性质
【点评】
本题属于材料阅读型题目，重点考查对新方法的理解和迁移运用能力，解题时要找准求和式中相邻两项的倍数关系，相减时注意抵消相同项，当相减后和的系数不为1时，不要遗漏系数化为1的步骤。
【难度系数】
0.7
