【分析】
解答这道题的核心是读懂材料给出的不同进制转十进制的规则，按规则逐步计算即可：
1. 解决第(1)问时，参照题目给出的二进制转十进制的方法，将二进制数的每一位数字乘以2的对应次方（次方数从右往左，最低位为0，依次递增），再将所有结果相加。
2. 解决第(2)问时，明确“满四进一”是四进制，绳子从右到左对应四进制的低位到高位，依次读取每根绳子的结数，从高位到低位写出即可得到四进制数。
3. 解决第(3)问时，类比二进制转十进制的方法，将四进制数的每一位乘以4的对应次方，相加后得到对应的十进制天数。
【解析】
(1) 根据二进制转十进制的规则：
$\begin{aligned}(101011)_2&=1×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0\\&=32+0+8+0+2+1\\&=43\end{aligned}$
(2) 从右到左数每根绳子的结数：最右侧绳子2个结（对应$4^0$位），往左第二根0个结（对应$4^1$位），第三根3个结（对应$4^2$位），第四根2个结（对应$4^3$位），最左侧绳子1个结（对应$4^4$位），按高位到低位写出四进制数为$(12302)_4$。
(3) 四进制转十进制，按规则计算：
$\begin{aligned}(12302)_4&=1×4^4+2×4^3+3×4^2+0×4^1+2×4^0\\&=1×256+2×64+3×16+0+2×1\\&=256+128+48+0+2\\&=434\end{aligned}$
【答案】
(1) 43；(2) $(12302)_4$；(3) 434天
【知识点】
进制转换，有理数乘方，新定义运算
【点评】
本题结合新定义材料和古代“结绳记数”的背景，考查对进位制规则的理解和应用能力，解题的关键是掌握不同进制转换为十进制的通用方法：将每一位数字与对应基数的幂次（幂次从右往左由0开始递增）相乘后求和，侧重考察阅读理解和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先要读懂题目给出的信息和示例，明确进制转换的规则：①十进制转二进制：先把十进制数拆成若干个2的n次幂相加的形式，按指数从高到低排列，依次提取每一项的系数（1或0）就是对应的二进制数；②二进制转十进制：把二进制数的每一位数字乘对应位次的2的幂次（最高位的指数为总位数减1，依次降幂到0），求和后得到对应的十进制数。
做第(1)题时，先找不超过12的最大2的幂，逐步拆分12，再按规则写二进制数；第(2)题先确定每一位对应的2的幂次，再乘系数求和即可。
【解析】
(1) 先拆分十进制数12：不超过12的最大2的幂是$2^3=8$，$12-8=4$，4恰好是$2^2$，剩余的数为0，因此：
$12_{(十进制)}=8+4=1×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0$
按从高次幂到低次幂的顺序提取各项系数，依次为1、1、0、0，因此对应的二进制数为$1100_{(二进制)}$。
(2) 二进制数$1110101$共7位，最高位对应的幂次为$7-1=6$，按降幂依次对应每一位：
$1110101_{(二进制)}=1×2^6+1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$
计算求和：$1×64 +1×32 +1×16 +0×8 +1×4 +0×2 +1×1=64+32+16+4+1=117$，即对应的十进制数为$117_{(十进制)}$。
【答案】
(1)$1×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0$；$1100_{(二进制)}$
(2)$1×2^6+1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$；$117_{(十进制)}$
【知识点】
零指数幂性质；乘方运算；进制转换
【点评】
本题属于信息迁移类题目，解题核心是读懂材料给出的转换规则，按照示例的步骤模仿操作即可。答题时要注意拆分十进制数时要按2的幂次降幂排列，二进制转十进制时不要搞混每一位对应的幂次，细心计算就能得到正确结果。
【难度系数】
0.7