1.在数学活动中,小明遇到了求式子$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^n}$的值的问题. 他和同伴讨论设计了如图所示的几何图形来求式子的值.已知图中大正方形的面积为1,每一个小图形中的数字表示这个小图形的面积.
(1)图中阴影部分的面积为
$\frac{1}{2^5}$
;(用乘方的形式表示)
(2)利用图形求$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$的值;
(3)直接写出$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^n}$的值.(结果用含$n$的式子表示)
答案：1.(1)$\frac{1}{2^5}$
(2)解:由所给图形可知,
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^5}=1$,
所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=\frac{31}{32}$.
(3)解:由所给图形可知,
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n}=1$,
所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}$.
解析：
【分析】
解题思路基于数形结合思想，借助总面积为1的大正方形的面积拆分推导：
(1)观察图形分割规律：每次都将剩余部分平均分成2份，每份面积是剩余部分的$\frac{1}{2}$，依次得到面积为$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2^2}$、$\frac{1}{2^3}$、$\frac{1}{2^4}$的图形，剩余阴影部分是第5次分割的1份，可直接得到其面积；
(2)求前5项的和时，注意到前5个分数对应的图形面积加上阴影部分的面积刚好等于大正方形总面积1，因此用总面积减去阴影面积即可得到前5项的和；
(3)推广到n项的情况，同理可得前n个分数对应的图形面积加最后剩余的$\frac{1}{2^n}$等于总面积1，整理即可得到通用求和公式。
【解析】
(1)根据图形分割规律，阴影部分是第5次分割得到的面积，为$\frac{1}{2^5}$；
(2)由大正方形总面积为1可知：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^5}=1$
计算得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
(3)推广到n项的情况，同理可得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n}=1$
整理得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}$
【答案】
(1)$\frac{1}{2^5}$
(2)$\frac{31}{32}$
(3)$1-\frac{1}{2^n}$
【知识点】
数形结合思想，分数运算，规律探究
【点评】
本题将抽象的分数求和问题转化为直观的几何面积计算，降低了理解难度，能够有效锻炼学生的观察能力、归纳推理能力，帮助学生理解数形结合的应用价值。
【难度系数】
0.7
2.用边长为0.5 m的灰、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺下去，要求铺成宽为1.5 m的小路.
(1)铺第5个图形用灰色正方形瓷砖
21
块，用白色正方形瓷砖
12
块；
(2)按照此方式铺下去，铺第n个图形用灰色正方形瓷砖
$(4n+1)$
块，用白色正方形瓷砖
$2(n+1)$
块；(用含n的式子表示)
(3)若灰色正方形瓷砖每块价格为20元，白色正方形瓷砖每块价格为25元，按照此方式恰好铺满20.5 m长的小路，求铺满该段小路所需瓷砖的总费用.
答案：2.(1)21 12
(2)$(4n+1)$ $2(n+1)$
(3)解:根据题意,列方程$[(4n+1)+2(n+1)]×0.5×0.5=1.5×20.5$,解得$n=20$.
因为$20(4n+1)+25×2(n+1)=130n+70$,
所以当$n=20$时,$130n+70=130×20+70=2670$.
答:铺满该段小路所需瓷砖的总费用为2670元.
解析：
【分析】
这是一道图形规律结合实际应用的题目，解题思路如下：1. 先观察前3个图形中灰色、白色瓷砖的数量，分别归纳出数量随图形序号n变化的规律；2. 利用得到的规律直接求解第(1)(2)问；3. 第(3)问先根据“所有瓷砖的总面积等于小路的面积”这一等量关系列方程，求出对应的图形序号n，再代入费用计算公式求解总费用。
【解析】
(1) 观察图形统计数量：
第1个图形灰色瓷砖5块，白色瓷砖4块；
第2个图形灰色瓷砖9块，白色瓷砖6块；
第3个图形灰色瓷砖13块，白色瓷砖8块；
可知灰色瓷砖每次增加4块，白色瓷砖每次增加2块，因此：
第5个图形灰色瓷砖数为$13+4×2=21$块，白色瓷砖数为$8+2×2=12$块。
(2) 推导数量通式：
灰色瓷砖数量：首项为5，公差为4的等差数列，第n个图形灰色瓷砖数为$5+4(n-1)=4n+1$块；
白色瓷砖数量：首项为4，公差为2的等差数列，第n个图形白色瓷砖数为$4+2(n-1)=2(n+1)$块。
(3) 求解总费用：
根据瓷砖总面积等于小路面积列方程：
$[(4n+1)+2(n+1)]×0.5×0.5=1.5×20.5$
化简得$(6n+3)×0.25=30.75$，解得$n=20$。
总费用计算公式为：
$20(4n+1)+25×2(n+1)=130n+70$
代入$n=20$，得总费用为$130×20+70=2670$元。
【答案】
(1) $\boxed{21}$，$\boxed{12}$
(2) $\boxed{(4n+1)}$，$\boxed{2(n+1)}$
(3) 铺满该段小路所需瓷砖的总费用为$\boxed{2670}$元
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题是规律类常考题型，既考查观察归纳能力，也考查方程实际应用能力，解题核心是准确梳理瓷砖数量的变化规律，再结合面积等量关系求出对应序号n，即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
