9.若$a^m=a^n(a＞0且a≠1,m,n是正整数)$，则$m=n$。利用此结论解决下面的问题：
(1)如果$2^x=2^5$，那么$x=$
5
；
(2)如果$8^x=2^7$，求$x$的值；
(3)如果$3^{x+2}-3^{x+1}=54$，求$x$的值。
答案：9.(1)5
(2)解:$8^x=(2^3)^x=2^{3x}=2^7,\therefore 3x=7,\therefore x=\frac{7}{3}.$
(3)解:$3^{x+2}-3^{x+1}=3^{x+1}(3-1)=2·3^{x+1}=54,$
$\therefore 3^{x+1}=27=3^3,\therefore x+1=3,\therefore x=2.$
10.阅读下面的材料：
$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})=1-\frac{1}{2^2}$；
$\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})=1-\frac{1}{3^2}$；……
利用上面材料中的方法解答下列问题：
(1)①$\frac{3}{4}×\frac{5}{4}=(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})=\_\_\_\_\_\_=$
$1-\frac{1}{4^2}$
；
(2)计算：$(1-\frac{1}{5})×(1+\frac{1}{5})×(1+\frac{1}{5^2})×(1+\frac{1}{5^4})+\frac{1}{5^8}$。
答案：10.(1)①$1-\frac{1}{4^2}$
②$(1-\frac{1}{7})×(1+\frac{1}{7})\quad 1-\frac{1}{7^2}$
(2)解:$(1-\frac{1}{5})×(1+\frac{1}{5})×(1+\frac{1}{5^2})×(1+\frac{1}{5^4})+\frac{1}{5^8}$
$=(1-\frac{1}{5^2})×(1+\frac{1}{5^2})×(1+\frac{1}{5^4})+\frac{1}{5^8}$
$=(1-\frac{1}{5^4})×(1+\frac{1}{5^4})+\frac{1}{5^8}$
$=1-\frac{1}{5^8}+\frac{1}{5^8}$
$=1.$
11.(2025·长清区期末)【知识生成】已知通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.
例如,由图①可以得到$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,基于此,请解答下列问题:
【直接应用】(1)若$x+y=3,x^2+y^2=5$,则$xy$的值为
2
;
【类比应用】(2)若$(x-3)(4-x)=-1$,求$(x-3)^2+(4-x)^2$的值;
【知识迁移】(3)两块全等的特制直角三角尺($∠AOB=∠COD=90°$)如图②所示放置,其中点$A,O,D$在同一条直线上,连接$AC,BD$,若$AD=16,S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=68$,则$△ AOB$的面积是多少?
答案：11.(1)2
(2)解:根据题意,得$(x-3)+(4-x)=1,$
$\therefore [(x-3)+(4-x)]^2=1^2,$
$\therefore (x-3)^2+(4-x)^2+2(x-3)(4-x)=1,$
$\therefore (x-3)^2+(4-x)^2=1-2(x-3)(4-x).$
又$\because (x-3)(4-x)=-1,$
$\therefore (x-3)^2+(4-x)^2=1-2×(-1)=3.$
(3)解:设$OA=OC=x,OB=OD=y,$
由题意知$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}OA· OC=\frac{1}{2}x^2,S_{△ BOD}=\frac{1}{2}OB· OD=\frac{1}{2}y^2.$
$\because S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=68,$
$\therefore \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2=68,\therefore x^2+y^2=136.$
$\because AD=16,\therefore x+y=16,$
$\therefore (x+y)^2=16^2,即x^2+y^2+2xy=256,$
$\therefore 2xy=256-(x^2+y^2)=120,\therefore xy=60,$
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}×60=30.$
