1.(2025·潍城区一模)若代数式$\frac{2}{x}$和$\frac{3}{x-1}$的值相等，则$x$的值为（
A
）
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
答案：1.A
2.(2025·潍坊月考)若分式方程$\frac{3}{x-2}=1-\frac{m}{x-2}$的解为正数，则$m$的取值范围是（
B
）
A.$m＞-5$
B.$m＞-5$且$m≠-3$
C.$m＜5$
D.$m＜5$且$m≠-3$
答案：2.B
3.(2025·台儿庄区期末)已知关于$x$的分式方程$\frac{m}{x+1} -1 = \frac{x}{x+1}$的解为非正数，则$m$的取值范围是（
C
）
A.$m＜1$
B.$m≤1$
C.$m≤1$且$m≠-1$
D.$m＜1$且$m≠-1$
答案：3.C
4. 解下列方程：
(1) $\frac{2x}{x-1} -1=\frac{4}{x-1}$；
(2) $\frac{x}{2x-5}=1-\frac{5}{5-2x}$；
(3) $\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}=\frac{3}{x-3}$；
(4) $\frac{1}{x^2+5x-$
$}=\frac{1}{x^2+x+6}$。
答案：4.解:(1)方程两边乘$(x-1)$,得$2x-x+1=4$,
解得$x=3$.
检验:当$x=3$时,$x-1≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=3$.
(2)方程两边乘$(2x-5)$,得$x=2x-5+5$,
解得$x=0$.
检验:当$x=0$时,$2x-5≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=0$.
(3)方程两边乘$(x-1)(x-2)(x-3)$,得
$(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)=3(x-1)(x-2)$,
解得$x=\frac{3}{2}$.
检验:当$x=\frac{3}{2}$时,$(x-1)(x-2)(x-3)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=\frac{3}{2}$.
(4)方程两边乘$(x^2+5x-6)(x^2+x+6)$,得
$x^2+x+6=x^2+5x-6$,解得$x=3$.
检验:当$x=3$时,$(x^2+5x-6)(x^2+x+6)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=3$.
5.已知关于$x$的分式方程$\dfrac{x}{x-1}-2=\dfrac{m}{1-x}$.
(1)当$m=1$时,求方程的解;
(2)若方程的解为非负数,求$m$的取值范围.
答案：5.解:(1)当$m=1$时,$\frac{x}{x-1}-2=\frac{1}{1-x}$,
即$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{1-x}=2$.
方程两边乘$(x-1)$,得$x+1=2(x-1)$,解得$x=3$.
检验:当$x=3$时,$x-1≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=3$.
(2)方程变形为$\frac{x}{x-1}+\frac{m}{x-1}=2$.
方程两边乘$(x-1)$,得$x+m=2(x-1)$,解得$x=m+2$.
$\because$分式方程有解且解为非负数,$\therefore x≠1$且$x≥0$,
即$m+2≠1$且$m+2≥0$,解得$m≥-2$且$m≠-1$.
6.(2025·眉山)若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{3x-1}{2}≤ x+2,\\x+1≥ -x+a\end{cases}$至少有两个正整数解，且关于$x$的分式方程$\dfrac{a-1}{x-1}=2-\dfrac{3}{1-x}$的解为正整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和为（ ）
A.$8$
B.$14$
C.$18$
D.$38$
答案：6.B
