3.某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售.当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间，每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务.
(1)原来每天生产健身器械多少台？
(2)某运输公司的大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输.已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆大货车需要的费用为1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆小货车需要的费用为800元.在运输总费用不超过16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案.哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少元？
答案：(1) 解:设原来每天生产健身器械x台,则提高工作效率后每天生产健身器械1.4x台,
根据题意,得$\frac{150}{x}+\frac{500-150}{1.4x}=8$,
方程两边乘1.4x,得$150×1.4+500-150=8×1.4x$,
解得$x=50$.
检验:当$x=50$时,$1.4x≠0$,
所以,原分式方程的解是$x=50$.
答:原来每天生产健身器械 50 台.
(2) 设同时使用m辆大货车,n辆小货车.
∵同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输,
∴$50m+20n≥500$,$\therefore n≥25-\frac{5}{2}m$.
又
∵该运输公司的大货车数量不足10辆,且运输总费用不超过16000元,
∴$\begin{cases} m＜10, \\ 1500m+800n≤16000, \end{cases}$
∴$\begin{cases} m＜10, \\ 1500m+800(25-\frac{5}{2}m)≤16000, \end{cases}$
解得$8≤m＜10$.
又
∵m为整数,
∴m可以为8,9.
当m=8时,$n≥5$;
当m=9时,$n≥\frac{5}{2}$.
∴共有2种运输方案:
方案1:使用8辆大货车,5辆小货车.
方案2:使用9辆大货车,3辆小货车.
方案1所需运输费用为$1500×8+800×5=16000$(元),
方案2所需运输费用为$1500×9+800×3=15900$(元).
∵$16000＞15900$,
∴运输方案2的费用最低,最低运输费用是15900元.
4.(2025·广州二模)
背景 随着我国科技事业的不断发展,国产无人机越来越多应用于实际生活,为人们的生活带来了便利.
素材1
某农业公司准备购进A,B两种型号的植保无人机用来喷洒农药,A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田,A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等.
素材2 若农业公司共购进20架无人机,A型无人机每架5万元,B型无人机每架6万元.
问题解决
任务1 A,B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷农田?
任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田,那么该公司如何购买A型和B型无人机,才能使总成本最低?并求出最低成本.
答案：任务1:设A型无人机平均每小时喷洒x公顷农田,则B型无人机平均每小时喷洒$(x+2)$公顷农田,
根据题意,得$\frac{40}{x}=\frac{50}{x+2}$,
方程两边乘$x(x+2)$,得$40(x+2)=50x$,
解得$x=8$.
检验:当$x=8$时,$x(x+2)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=8$,
所以$x+2=8+2=10$.
答:A型无人机平均每小时喷洒8公顷农田,B型无人机平均每小时喷洒10公顷农田.
任务2:设购买A型无人机m架,则购买B型无人机$(20-m)$架,
根据题意,得$8m+10(20-m)≥180$,解得$m≤10$.
∵A型无人机每架5万元,B型无人机每架6万元,
∴当m取最大值时,总成本最低,
∴$m=10$,$\therefore 20-m=20-10=10$,
最低成本为$10×5+10×6=110$(万元).
答:该公司购买A型无人机10架,B型无人机10架,才能使总成本最低,最低成本为110万元.
