10.(2025·闵行区月考)如图,小华为了估计池塘两岸间的距离(即AB的长),在池塘的一侧选取一点P,测得$PA=10\ \mathrm{m}$,$PB=6\ \mathrm{m}$,则池塘两岸间的距离可能是 (
D
)
A.18 m
B.17 m
C.16 m
D.15 m
答案：10.D
11.(2025·海淀区期末)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若$△ ABC$是“倍长三角形”,有两条边的长分别为4和6,则第三条边的长为
3或8
.
答案：11.3或8
12.如图,在△ABC中,AB=10 cm,AC=6 cm,D是BC的中点,点E在边AB上,△BDE与四边形ACDE的周长相等.
(1)求线段AE的长；
(2)若图中所有线段长度的和是53 cm,求$BC+\frac{1}{2}DE$的值.
答案：12.解:(1)
∵△BDE与四边形ACDE的周长相等，
∴BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE.
∵D是BC的中点,
∴BD=DC,
∴BE=AE+AC.
∵AB=10 cm,设AE=x cm,则BE=(10−x)cm,
由题意,得10−x=x+6,解得x=2,
∴AE=2 cm.
(2)题图中共有8条线段，
它们的长度和为AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC=2AB+AC+2BC+DE=53 cm，
∴2BC+DE=53−(2AB+AC)=53−(2×10+6)=27(cm)，
∴BC+1/2 DE=27/2 (cm).
13.(2025·青浦区月考)已知$△ ABC$的三边长为$a,b,c$,且$a,b,c$都是整数.
(1)若$a=2,b=5$,且$c$为偶数,求$△ ABC$的周长;
(2)化简:$|a-b+c|-|b-c-a|+|a+b+c|$.
答案：13.解:(1)
∵a=2,b=5，
∴5−2＜c＜5+2,
∴3＜c＜7.
∵c为偶数,
∴c=4或c=6.
当c=4时,△ABC的周长为a+b+c=2+5+4=11；
当c=6时,△ABC的周长为a+b+c=2+5+6=13.
综上所述,△ABC的周长为11或13.
(2)
∵△ABC的三边长为a,b,c,
∴a+c＞b，
∴|a−b+c|−|b−c−a|+|a+b+c|=a+c−b−(a+c−b)+a+b+c=a+b+c.
14.(2025·徐汇区期中)如图，P是$△ ABC$内一点，连接AP，PB，PC.
求证：$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)＜PA+PB+PC＜AB+BC+AC.$
答案：14.证明:延长AP交BC于点D,如答图.
由三角形三边关系,得AP+PD＜AC+CD,PB＜PD+BD，
∴AP+PD+PB＜AC+CD+PD+BD，
∴AP+PB＜AC+BC.
同理可得PB+PC＜AB+AC,PC+PA＜AB+BC，
∴2(PA+PB+PC)＜2(AB+BC+AC)，
∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC.
由三角形三边关系,得PA+PB＞AB,PB+PC＞BC,PA+PC＞AC，
∴2(PA+PB+PC)＞AB+BC+AC，
∴PA+PB+PC＞1/2 (AB+BC+AC)，
∴1/2 (AB+BC+AC)＜PA+PB+PC＜AB+BC+AC.
