答案：
4.(1)2＜AD＜7
(2)证明:如答图,延长FD至点N,使DN=DF,连接BN,EN.
∵D是BC的中点,
∴CD=BD.
在△FDC和△NDB中,
$\begin{cases}FD=ND,\\∠FDC=∠NDB,\\CD=BD,\end{cases}$
∴△FDC≌△NDB(SAS),
∴FC=BN.
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=∠EDN=90°.
在△EDF和△EDN中,
$\begin{cases}DF=DN,\\∠EDF=∠EDN,\\ED=ED,\end{cases}$
∴△EDF≌△EDN(SAS),
∴EF=EN.
在△EBN中,BE+BN＞EN,
∴BE+CF＞EF.
第4题答图

答案：
5. 证明:如答图,过点E作EH⊥AC于点H,
∴∠EHC=∠EHF=90°.
∵AB⊥AC,
∴∠DAC=90°,
∴∠ADC+∠ACD=90°.
∵CE⊥CD,
∴∠ECH+∠ACD=90°,
∴∠ECH=∠CDA.
在△HEC和△ACD中,
$\begin{cases}∠EHC=∠CAD=90°,\\∠ECH=∠CDA,\\CE=DC,\end{cases}$
∴△HEC≌△ACD(AAS),
∴EH=AC.
∵AB=AC,
∴EH=AB.
在△ABF和△HEF中,
$\begin{cases}∠BAF=∠EHF=90°,\\∠AFB=∠HFE,\\BA=EH,\end{cases}$
∴△ABF≌△HEF(AAS),
∴EF=BF,
∴F是BE的中点.
第5题答图

答案：
6. 证明:(1)过点D作DH⊥AC,交AC的延长线于点H,如答图,
∴∠DHC=90°.
∵EF⊥AC,
∴∠EFC=90°.
在△AEF和△BDH中,
$\begin{cases}∠AFE=∠BHD=90°,\\∠A=∠DBH,\\AE=BD,\end{cases}$
∴△AEF≌△BDH(AAS),
∴EF=DH.
在△EFC和△DHC中,
$\begin{cases}∠FCE=∠HCD,\\∠EFC=∠DHC=90°,\\EF=DH,\end{cases}$
∴△EFC≌△DHC(AAS),
∴CE=CD,
∴C是DE的中点.
第6题答图
(2)由(1)得,△AEF≌△BDH,△EFC≌△DHC,
∴AF=BH,CF=CH,
∴AB+BF=BF+FH,FH=2FC,
∴AB=FH=2CF.