7. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$△ ABC$ 的角平分线 $AD$,$BE$ 相交于点 $P$,过点 $P$ 作 $PF⊥ AD$ 交 $BC$ 的延长线于点 $F$,交 $AC$ 于点 $H$,有下列结论:①$∠ APB=135°$;②$PF=PA$;③$AH+BD=AB$;④$S_{\mathrm{四边形}ABDE}=\dfrac{3}{2}S_{△ ABP}$.其中正确的有 （
C
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：7.C
8.如图，B,C,E三点在同一条直线上，CD平分$∠ ACE$，$DB=DA$，$DM⊥ BE$于点M，若$AC=2$，$BC=\frac{3}{2}$，则CM的长为
$\frac{1}{4}$
。
答案：8.$\frac{1}{4}$
9.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与两条铁路分别交于A处和B处,试在河道AB上修建一座水厂M,要求水厂M到铁路OA,OB的距离相等,问水厂M应建在什么位置?
答案：9.解:如答图,作∠AOB的平分线OM,交AB于点M,M为水厂位置.
10.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC+∠B=180°. 求证:BC=DC.
答案：10.证明:如答图,过点C作CE⊥AB,垂足为E,作CF⊥AD,交AD的延长线于点F.
∵AC平分∠DAB,
∴CE=CF.
∵∠ADC+∠B=180°,∠ADC+∠CDF=180°,
∴∠B=∠CDF.又
∵∠CEB=∠CFD=90°,
∴△CEB≌△CFD(AAS),
∴BC=DC.
11.(2025·郑州月考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
(1)求证:CF=EB;
(2)若AB=12,AF=8,求CF的长.
答案：11.(1)证明:
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,
∴DE=DC.
在Rt△CDF与Rt△EDB中,$\begin{cases} DF=DB,\\ DC=DE, \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴CF=EB.
(2)解:设CF=x,则BE=x,AE=12−x,AC=8+x,
由(1)知CD=DE.
在Rt△ACD与Rt△AED中,$\begin{cases} AD=AD,\\ CD=ED, \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE,即8+x=12−x,解得x=2,即CF=2.
