7.如图，$DE⊥AB$，交$AB$的延长线于点$E$，$DF⊥AC$于点$F$，且$DB=DC$，$BE=CF$，求证：$AD$是$∠BAC$的平分线。
答案：7.证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分线.
8.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP.
(1)延长BA至点E，求证:AP平分∠CAE；
(2)若∠BPC=40°，求∠CAP的度数.
答案：8.(1)证明:如答图,过点 P 作 PN⊥BD 于点 N,PM⊥BE于点 M,PF⊥AC 于点 F.
∵∠ACD的平分线 CP 与∠ABC的平分线 BP 交于点 P,
∴PM=PN,PN=PF,
∴PM=PF,又 PA=PA,
∴Rt△AMP≌Rt△AFP(HL),
∴∠PAE=∠PAF,
∴AP平分∠CAE.
(2)解:设∠ABC=2α,∠ACD=2β.
∵∠ACD的平分线 CP 与∠ABC的平分线 BP 交于点 P,
∴∠ABP=∠CBP=α,∠ACP=∠DCP=β.
∵∠DCP=∠CBP+∠BPC,∠ACD=∠ABC+∠BAC,
∴β=α+∠BPC,2β=2α+∠BAC,
∴∠BAC=2∠BPC=80°,
∴∠CAP=$\frac{180°-80°}{2}$=50°.
9.如图，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD，F为BD和CE的交点.
(1)求证:BD=CE；
(2)连接AF，求证:FA平分∠BFE.
答案：9.证明:(1)
∵∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB+∠DAC=∠EAD+∠DAC,
∴∠DAB=∠EAC.
又
∵AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴BD=CE.
(2)过点 A 作 AN⊥EC 于点 N,AM⊥BD 于点 M,如答图，
∴$S_{△DAB}=\frac{1}{2}DB·AM$,$S_{△EAC}=\frac{1}{2}EC·AN$.
由(1)知△DAB≌△EAC,BD=CE,
∴$S_{△DAB}=S_{△EAC}$,
∴$\frac{1}{2}DB·AM=\frac{1}{2}EC·AN$,
∴AM=AN,
∴FA平分∠BFE.
10.(2025·涟源月考)如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°,连接DE.
(1)求∠CAD的度数;
(2)求证:DE平分∠ADC;
(3)若AB=6,AD=4,CD=8,且$S_{△ ACD}=18$,求△ABE的面积.
答案：10.(1)解:
∵EF⊥AB,∠AEF=50°,
∴∠FAE=90°-50°=40°.
∵∠BAD=100°,
∴∠CAD=180°-100°-40°=40°.
(2)证明:过点 E 作 EG⊥AD 于点 G,EH⊥BC 于点 H,如答图.
∵∠FAE=∠DAE=40°,EF⊥BF,EG⊥AD,
∴EF=EG.
∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,
∴EF=EH,
∴EG=EH.
∵EG⊥AD,EH⊥BC,
∴DE平分∠ADC.
(3)解:
∵$S_{△ACD}=18$,
∴$\frac{1}{2}AD·EG+\frac{1}{2}CD·EH=18$,
即$\frac{1}{2}×4EG+\frac{1}{2}×8EG=18$,
解得 EG=3,
∴EF=EH=3,
∴△ABE的面积为$\frac{1}{2}AB·EF=\frac{1}{2}×6×3=9$.
