7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形，在如图所示的作法中，正确的有
3
个.
答案：7.3
8.(2025·松江区期末)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F.
求证:(1)BA=BC;
(2)△AFC为等腰三角形.
答案：8.证明:(1)在△ABD和△CBE中,$\begin{cases} ∠BAD=∠BCE, \\ ∠B=∠B, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBE(AAS),
∴BA=BC.
(2)
∵BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA.
∵∠BAD=∠BCE,
∴∠FAC=∠FCA,
∴FA=FC,
∴△AFC为等腰三角形.
9.(2025·青岛期中)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,E为CA的延长线上一点,过点E作EF//AD,分别交AB,BC于点P,F.
(1)求证:△AEP是等腰三角形;
(2)若AD=BD,求∠E的度数.
答案：9.(1)证明:
∵AB=AC,BD=CD,
∴∠BAD=∠CAD.
∵EF//AD,
∴∠E=∠CAD,∠APE=∠BAD,
∴∠E=∠APE,
∴AE=AP,
∴△AEP是等腰三角形.
(2)解:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵AD=BD=CD,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD.
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=180°,
∴∠B=∠BAD=∠C=∠CAD=45°,
∴∠E=∠CAD=45°.
10.在$△ ABC$中，$AB=AC(AB＜BC)$，在$BC$上截取$BD=AB$，连接$AD$.在$△ ABC$的外部作$∠ ABE=∠ DAC$，且$BE$交$DA$的延长线于点$E$.
(1)如图①，当$∠ ABC=$
36
°时，$AE=AC$.
(2)如图②.
①求证:$BE=DE$;
②延长$AD$到点$F$，使$DF=AE$，连接$BF$，$CF$.补全图形，猜想$∠ BFE$与$∠ AFC$的数量关系，并加以证明.
答案：10.(1)36
(2)①证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵∠DBE=∠CBA+∠ABE,∠BDE=∠DAC+∠C,
∠ABE=∠DAC,
∴∠DBE=∠BDE,
∴BE=DE.
②解:补全的图形如答图所示,∠BFE=∠AFC.
证明:过点B作BG⊥EF于点G,如答图.
∵DF=AE,
∴AE+AD=DF+AD,即DE=AF.
∵BE=DE,
∴BE=AF.
在△ABE和△CAF中,$\begin{cases} BE=AF, \\ ∠ABE=∠CAF, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF(SAS),
∴∠E=∠AFC.
∵BA=BD,BG⊥EF,
∴DG=AG.
∵DF=AE,
∴DG+DF=AG+AE,即FG=EG.
∵BG⊥EF于点G,
∴BE=BF,
∴∠BFE=∠E,
∴∠BFE=∠AFC.
