2. 如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=45°$,$BD⊥ AC$,$P$为边$AB$上一点(不与点$A$,$B$重合),$PM⊥ BC$,垂足为$M$,交$BD$于点$N$.
(1)试猜想$PN$与$BM$之间的数量关系,并证明.
(2)若$P$为边$AB$延长线上一点,$PM⊥ BC$所在直线,垂足为$M$,交$DB$的延长线于点$N$,请在图②中补全图形,并判断(1)中的结论是否成立.若成立,请证明;若不成立,请写出你的猜想并证明.
答案：2. 解:(1)$PN=2BM$.证明如下：
如答图①,作$PF// AC$交$BC$于点$F$,交$BD$于点$E$.
$\because BD⊥ AC,PF// AC$,
$\therefore PF⊥ BD,∠ BPE=∠ A=45°$,
$\therefore ∠ BEP=90°,∠ PBE=∠ BPE=45°$,
$\therefore BE=PE$.
$\because PM⊥ BC,\therefore ∠ PMB=∠ PEN=90°$.
$\because ∠ BNM=∠ PNE,\therefore ∠ NPE=∠ EBF$.
$\because ∠ PEN=∠ BEF=90°$,
$\therefore △ PEN≌△ BEF(\mathrm{ASA}),\therefore PN=BF$.
$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ C$.
$\because PF// AC,\therefore ∠ PFB=∠ C$,
$\therefore ∠ PFB=∠ PBF,\therefore PB=PF$.
$\because PM⊥ BF,\therefore BM=MF,\therefore PN=2BM$.
(2)补全图形如答图②,(1)中的结论成立.证明如下：
如答图②,作$PE// AC$交$CM$的延长线于点$E$,交$DN$的延长线于点$F$.
$\because PF// AC,BD⊥ AC,\therefore BF⊥ EP$,
$\therefore ∠ ABD=∠ PBF=∠ BPF=45°,\therefore BF=PF$.
$\because ∠ E+∠ EBF=90°,∠ E+∠ EPM=90°$,
$\therefore ∠ EBF=∠ EPM$.
$\because ∠ EFB=∠ NFP,BF=PF$,
$\therefore △ BFE≌△ PFN(\mathrm{ASA}),\therefore BE=PN$.
$\because ∠ E=∠ C=∠ ABC=∠ PBE,\therefore PE=PB$.
$\because PM⊥ EB,\therefore EM=BM,\therefore PN=2BM$.
