3.(2025·闵行区期末)如图,在△ABC中,BM,CM分别平分∠ABC和∠ACB,经过点M的直线DE平行于BC,分别交AB,AC于点D,E,AB=8,AC=6.求△ADE的周长.
答案：3. 解:
∵BM平分∠ABC,
∴∠CBM=∠ABM.
∵DE//BC,
∴∠CBM=∠BMD,
∴∠BMD=∠ABM,
∴DB=DM.
同理可得EC=EM,
∴△ADE的周长为AD+DE+AE=AD+DM+ME+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=14.
4.(2025·普陀区月考)如图，AB//CD，BC平分∠ABD，交AD于点E.
(1)求证：△BCD是等腰三角形；
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA=28°，求∠3的度数.
答案：4. (1)证明:
∵BC平分∠ABD,
∴∠1=∠2.
∵AB//CD,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴CD=BD,
∴△BCD是等腰三角形.
(2)解:
∵AD⊥BD,
∴∠ADB=90°.
∵∠CDA=28°,
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=28°+90°=118°.
∵AB//CD,
∴∠ABD+∠CDB=180°,
∴∠ABD=180°-118°=62°.
∵BC平分∠ABD,
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABD=$\frac{1}{2}$×62°=31°.
∵∠1=∠3,
∴∠3=31°.
5.(2025·东营区月考)如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,E是BC上一点,$BE=CD$,$EF// AD$交AB于点F,交CA的延长线于点P,$CH// AB$交AD的延长线于点H.
(1)求证:$△ APF$是等腰三角形;
(2)猜想AB与PC的数量关系,并证明你的猜想.
答案：5. (1)证明:如答图.
∵EF//AD,
∴∠1=∠4,∠2=∠P.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠4=∠P,
∴AF=AP,即△APF是等腰三角形.
(2)解:AB=PC.证明如下：
∵CH//AB,
∴∠5=∠B,∠H=∠1.
∵EF//AD,
∴∠1=∠3,
∴∠H=∠3.
在△BEF和△CDH中,
$\begin{cases}∠B=∠5,\\∠3=∠H,\\BE=CD,\end{cases}$
∴△BEF≌△CDH(AAS),
∴BF=CH.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠H,
∴AC=CH,
∴AC=BF.
∵AB=AF+BF,PC=AP+AC,
∴AB=PC.
6.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，$∠ BAC=α$，$BM// AC$，$∠ BAC$的平分线交$BM$于点$F$，$∠ ABF$的平分线交$AF$于点$E$，连接$EC$。
(1)求证：$AE=EF$；
(2)当$BE=AC$时，请求出$α$的值。
答案：6. (1)证明:
∵BM//AC,AF平分∠BAC,
∴∠AFB=∠FAC=∠FAB,
∴AB=BF.
∵BE平分∠ABF,
∴AE=EF.
(2)解:如答图,设BC与AE相交于点D.
由(1)可知BE⊥AF,
∴∠BED=∠BCA=90°.
在△ACD和△BED中,
$\begin{cases}∠ADC=∠BDE,\\∠ACD=∠BED,\\AC=BE,\end{cases}$
∴△ACD≌△BED(AAS),
∴∠CAD=∠EBD,AD=BD,
∴∠BAD=∠DBA.
∵AF平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∴∠CBA=∠BAD=∠CAD.
∵BC⊥AC,
∴∠CAD=∠BAD=∠CBA=30°,
∴∠BAC=60°,即α=60°.
