8.(2025·宁德期末)如图,在$△ ABC$中,AD为BC边上的高线,CE为AB边上的中线,AD,CE交于点F,连接BF.则下列结论正确的是
①③④
.(填序号)
①若$CA=CB$,则$BF⊥ AC$;
②若$BA=BC$,则$∠ ABF=∠ CBF$;
③若$AB=AC$,则$S_{△ BEF}=S_{△ BDF}$;
④若$FA=FB=FC$,则$FD=FE$.
答案：8.①③④
三、解答题
9.为了解决某地区两个村庄的村民子女就近入学问题，某企业捐资助学，计划新建一所学校.如图，AB，AC表示两条公路，点M，N表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在∠BAC的内部.请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论.
答案：9.解:点 P 为线段 MN 的垂直平分线与∠BAC 的平分线的交点,则点 P 到点 M,N 的距离相等,到 AB,AC 的距离也相等,如答图.
10.(2025·浦东新区期末)如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,BP⊥AD于点P,AB=5,BP=2,AC=9.求证:$∠ ABP=2∠ ACB$.
答案：10.证明:延长 BP,交 AC 于点 E,如答图.
∵AD平分∠BAC,BP⊥AD,
∴∠BAP=∠EAP,∠APB=∠APE.
在△ABP与△AEP中,$\begin{cases}∠BAP=∠EAP,\\AP=AP,\\∠APB=∠APE,\end{cases}$
∴△ABP≌△AEP(ASA),
∴BP=PE=2,AE=AB=5,∠AEB=∠ABE,
∴BE=BP+PE=4,
∴CE=AC-AE=9-5=4,
∴CE=BE,
∴∠EBC=∠C.
又
∵∠ABP=∠AEB=∠C+∠EBC,
∴∠ABP=2∠C.
11.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为$(1,0)$,以线段 OA 为边在第四象限内作等边三角形$AOB$,$C$为$x$轴正半轴上一动点$(OC＞1)$,连接$BC$,以线段$BC$为边在第四象限内作等边三角形$CBD$,连接$DA$并延长,交$y$轴于点$E$.
(1)$△ OBC$与$△ ABD$全等吗? 证明你的结论;
(2)当点$C$运动到什么位置时,以$A,E,C$为顶点的三角形是等腰三角形?
答案：11.解:(1)△OBC≌△ABD.证明如下:
∵△AOB,△CBD都是等边三角形,
∴OB=AB,CB=DB,∠ABO=∠DBC,
∴∠OBC=∠ABD.
在△OBC和△ABD中,$\begin{cases}OB=AB,\\∠OBC=∠ABD,\\CB=DB,\end{cases}$
∴△OBC≌△ABD(SAS).
(2)
∵△OBC≌△ABD,
∴∠BOC=∠BAD=60°.
又
∵∠OAB=60°,
∴∠OAE=180°-60°-60°=60°,
∴∠EAC=120°,∠OEA=30°,
∴当以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形时,AE和AC是腰.
∵在Rt△AOE中,OA=1,∠OEA=30°,
∴AE=2,
∴AC=AE=2,
∴OC=1+2=3,
∴当点C的坐标为(3,0)时,以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形.
