11.若$(x-3)(x+m)=x^2 -nx -3$，则$n=$
2
.
答案：11.2
12.(2025·镇江月考)如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是
24
。
答案：12.24
13.计算：
(1)$(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})(x^2+\frac{1}{4})$； (2)$30\frac{1}{3}×29\frac{2}{3}$； (3)$2023^2 - 2022×2024$。
答案：13.解:(1)原式$=(x^2-\frac{1}{4})(x^2+\frac{1}{4})=x^4-\frac{1}{16}$.
(2)原式$=(30+\frac{1}{3})×(30-\frac{1}{3})$
$=900-\frac{1}{9}=899\frac{8}{9}$.
(3)原式$=2023^2-(2023-1)×(2023+1)$
$=2023^2-2023^2+1=1$.
14.化简下列各式：
(1)$(2a+1)^2 - (1-2a)^2$；
(2)$(a+1)^2(a-1)^2(a^2+1)^2$。
答案：14.解:(1)原式$=[(2a+1)+(1-2a)][(2a+1)-(1-2a)]=2×4a=8a$.
(2)原式$=[(a+1)(a-1)]^2(a^2+1)^2$
$=(a^2-1)^2(a^2+1)^2$
$=[(a^2-1)(a^2+1)]^2$
$=(a^4-1)^2$
$=a^8-2a^4+1$.
15.先化简，再求值：$(2 - a)(2 + a) - 2a(a + 3) + 3a^2$，其中$a = -\dfrac{1}{3}$。
答案：15.解:$(2-a)(2+a)-2a(a+3)+3a^2=4-a^2-2a^2-6a+3a^2=4-6a$,
当$a=-\frac{1}{3}$时,原式$=4-6×(-\frac{1}{3})=4+2=6$.
16.(2025·青岛期中)数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,数形结合的思想就是运用数的严谨和形的直观,将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来.
如图①,从边长为$a$的正方形中剪去一个边长为$b$的小正方形后,将剩下的阴影部分沿虚线剪开,拼成如图②所示的长方形.
(1)通过比较图①和图②中阴影部分的面积,可以验证的乘法公式是
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
.
(2)在计算$(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)$时,可以利用(1)中的结论.请你补全计算过程:
解:$(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)$
$=(2-1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)$
$=(\_\_\_\_\_\_)×(2^2+1)×(2^4+1)$
$=(\_\_\_\_\_\_)×(2^4+1)$
$=\_\_\_\_\_\_.$
(3)利用以上的结论和方法计算:
$(5+1)×(5^2+1)×(5^4+1)×\dots×(5^{16}+1).$
(4)根据你发现的规律计算:$(a+1)(a-1)(a^2+1)(a^4+1)·\dots·(a^n+1).$
答案：16.(1)$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
(2)$2^2-1$ $2^4-1$ $2^8-1$
(3)解:$(5+1)×(5^2+1)×(5^4+1)×···×(5^{16}+1)=\frac{1}{4}×(5-1)×(5+1)×(5^2+1)×(5^4+1)×···×(5^{16}+1)=\frac{1}{4}×(5^2-1)×(5^2+1)×(5^4+1)×···×(5^{16}+1)=\frac{1}{4}×(5^4-1)×(5^4+1)×···×(5^{16}+1)=\frac{1}{4}×(5^8-1)×(5^8+1)×(5^{16}+1)=\frac{1}{4}×(5^{16}-1)×(5^{16}+1)=\frac{5^{32}-1}{4}$.
(4)解:原式$=(a^2-1)(a^2+1)(a^4+1)·····(a^n+1)=(a^4-1)(a^4+1)·····(a^n+1)=(a^8-1)·····(a^n+1)=a^{2n}-1$.
