【分析】
本题考查直角三角形含30°锐角的特殊性质，思考时可结合等边三角形的性质推导验证：将含30°角的直角三角形沿较长直角边翻折，可得到一个等边三角形，此时原30°角所对的直角边是等边三角形的一条边，而等边三角形的边长恰好等于原直角三角形的斜边长度，由此就能推出30°角所对直角边和斜边的数量关系。
【解析】
我们可以通过推导得出该结论：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则剩余锐角∠B=180°-90°-30°=60°。取斜边AB的中点D，连接CD，根据直角三角形斜边中线的性质可知CD=AD=BD=½AB。又因为∠B=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此△BCD是等边三角形，可得BC=BD=½AB，其中BC是30°角∠A所对的直角边，AB是直角三角形的斜边，由此可证得该性质。
【答案】
斜边的一半
【知识点】
1. 直角三角形30°角性质
2. 等边三角形的判定与性质
【点评】
该性质是直角三角形的核心基础性质之一，常应用于直角三角形的边长计算、角度推导类题目，记忆时要注意适用前提必须同时满足“直角三角形”和“存在30°锐角”两个条件，不可在非直角三角形中随意使用该性质。
【难度系数】
0.9

【分析】
首先观察图形可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，题目中给出的步行距离500m是斜边AB的长度，山的高度AC是30°角∠ABC所对的直角边。我们可以利用含30°角的直角三角形的性质求解，即30°角所对的直角边等于斜边的一半，直接代入数值计算即可得到AC的长度。
【解析】
解：由题意可知，△ABC中∠C=90°，AB=500m，∠ABC=30°。
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，AC是∠ABC所对的直角边，因此：
$ AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×500=250(m) $
【答案】
250 m
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础应用类题目，主要考查对含30°角的直角三角形性质的掌握，解题时只需准确识别30°角对应的直角边和斜边，直接套用性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题思路如下：①首先根据等腰三角形AB=BC的性质，结合已知∠A=30°，先求出△ABC的另外两个内角∠C、∠ABC的度数；②再根据折叠的性质，得到折叠前后对应角相等、对应边相等，即∠ABE=∠A，AE=BE，进而计算出∠EBC的度数；③最后在Rt△EBC中，利用直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半求出BE的长度，再结合AC=AE+CE即可求出AC的总长。
【解析】
解：
1. 求△ABC内角：
∵AB=BC，∠A=30°，
∴∠C=∠A=30°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-30°-30°=120°。
2. 利用折叠性质：
沿直线DE折叠，点A与点B重合，由折叠的性质可得△ADE≌△BDE，
∴∠ABE=∠A=30°，AE=BE。
3. 计算∠EBC：
∠EBC=∠ABC - ∠ABE=120°-30°=90°。
4. 计算AC长度：
在Rt△EBC中，∠EBC=90°，∠C=30°，CE=6，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得BE=½CE=½×6=3，
∴AE=BE=3，
∴AC=AE+CE=3+6=9。
【答案】
90；9
【知识点】
等腰三角形的性质，折叠的性质，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形、折叠变换、特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握折叠前后图形的对应角、对应边相等的性质，灵活运用特殊三角形的边角关系求解。
【难度系数】
0.75

【分析】
要证明AM=2MN，可结合含30°角的直角三角形的性质推导：首先利用等边三角形的性质，结合M是BC中点的条件，通过“三线合一”得到AM平分∠BAC，进而得到∠MAN=30°；再由MN⊥AB可知△AMN是直角三角形，最后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得结论。
【解析】
证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°。
∵M为BC的中点，
∴AM⊥BC，∠BAM=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°。
∵MN⊥AB，
∴在Rt△AMN中，∠BAM=30°，30°角所对的直角边为MN，斜边为AM，
∴AM=2MN。
【答案】
证明过程如上，可证得AM=2MN。
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形三线合一，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是利用等边三角形三线合一的性质得到30°角，再结合直角三角形的特殊性质完成推导，熟练掌握特殊三角形的相关性质是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时我们可以从已知条件逐步推导：①首先由等边△ABC的性质，可先得出∠ABC、∠ACB的度数均为60°；②结合BD是∠ABC的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质，可得BD垂直AC，即∠BDC=90°，同时得到∠CBD的度数；③再由CE=CD可知△CDE是等腰三角形，根据“等边对等角”得∠CDE=∠E，利用三角形外角的性质（∠ACB是△CDE的外角，等于两个不相邻内角的和），即可算出∠CDE的度数；④最后∠BDE是∠BDC与∠CDE的和，相加即可得到结果。
【解析】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，BD⊥AC，
即∠BDC=90°。
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E。
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠CDE+∠E，
∴2∠CDE=60°，
∴∠CDE=30°，
∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是熟练运用特殊三角形的性质，将已知条件转化为和待求角相关的角度关系，只要理清角之间的和差、等量关系就可以顺利求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）要证明DC=DE，观察可得DC、DE分别是点D到∠CAB两边AC、AB的垂线段，可利用角平分线的性质证明，即先证AD平分∠CAB。首先根据线段垂直平分线的性质得DA=DB，推出∠DAB=∠B=30°，再结合Rt△ABC的内角和求出∠CAB=60°，即可得到∠CAD=∠BAD=30°，即AD是∠CAB的角平分线，根据角平分线的性质得DC=DE。
（2）求BD的长时，由（1）的结论先得到DE=CD=3，再观察Rt△DEB中∠B=30°，利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”的性质，即可求出BD的长度。
【解析】
(1)证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA=30°。
∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=180°-90°-30°=60°,
∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=60°-30°=30°，即∠CAD=∠BAD=30°。
∵DC⊥AC，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得DC=DE。
(2)解：
∵DC=DE，CD=3，
∴DE=3。
∵DE⊥AB，即∠DEB=90°，∠B=30°，
∴在Rt△DEB中，30°角所对的直角边DE是斜边BD的一半，即BD=2DE=2×3=6。
【答案】
(1)DC=DE，证明成立；
(2)BD的长为6。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，综合考查了多个常用几何性质的应用，解题核心是通过线段垂直平分线的性质推导角度关系，再结合角平分线和特殊直角三角形的性质求解，需熟练掌握各类基础几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.8