【分析】
要证明AB与CE平行且相等，可先证明两条线段所在的三角形全等，借助全等的性质得到边、角的等量关系，再推导平行。首先由AD是△ABC的中线可得BD=CD，结合已知DE=AD，以及对顶角∠ADB=∠EDC，可通过SAS判定△ABD≌△ECD；再利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，得到AB=CE，∠B=∠DCE，最后根据内错角相等判定两直线平行，即可得出AB//CE的结论。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD。
在△ABD和△ECD中，
$\{\begin{array}{l}AD = ED \\∠ ADB = ∠ EDC \\BD = CD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ECD（SAS）。
∴ AB = CE，∠B = ∠DCE。
∴ AB // CE（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
AB//CE，AB=CE，结论成立。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是倍长中线模型的典型应用，通过延长中线构造全等三角形，可实现线段、角的位置与数量关系的转化，是解决三角形相关问题的常用辅助线方法，需熟练掌握该模型的应用思路。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明EF=2AD，已知AD是BC边上的中线，遇到中线相关的线段倍分问题，优先考虑倍长中线法构造全等三角形，将2AD转化为一条单一线段，再证明该线段与EF相等。具体思路：①延长AD到H，使HD=AD，得到HA=2AD；②利用中线性质和SAS证明△HDC≌△ADB，得到CH=AB、角的关系，进而推出∠ACH=∠FAE；③结合已知的边相等条件，证明△ACH≌△FAE，得到HA=EF，即可推导出结论。
【解析】
证明：如答图，延长AD到点H，使HD=AD，连接HC，则HA=2AD。

∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD。
在△HDC和△ADB中，
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠HDC=∠ADB, \\ HD=AD, \end{cases}$
∴△HDC≌△ADB（SAS），
∴CH=AB，∠H=∠DAB，
∴CH//AB，
∴∠CAB+∠ACH=180°。
∵∠CAB+∠FAE=180°，
∴∠ACH=∠FAE。
∵AB=AE，
∴CH=AE。
在△ACH和△FAE中，
$\begin{cases} CH=AE, \\ ∠ACH=∠FAE, \\ AC=FA, \end{cases}$
∴△ACH≌△FAE（SAS），
∴HA=EF，
∴EF=2AD。
【答案】
证明:如答图,延长 AD 到点 H,使 HD=AD,连接 HC,则 HA=2AD.

∵AD 是 BC 边上的中线,
∴CD=BD.
在△HDC 和△ADB 中,
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ HDC=∠ ADB, \\ HD=AD, \end{cases}$
∴△HDC≌△ADB(SAS),
∴CH=AB,∠H=∠DAB,
∴CH//AB,
∴∠CAB+∠ACH=180°.
∵∠CAB+∠FAE=180°,
∴∠ACH=∠FAE.
∵AB=AE,
∴CH=AE.
在△ACH 和△FAE 中,
$\begin{cases} CH=AE, \\ ∠ ACH=∠ FAE, \\ AC=FA, \end{cases}$
∴△ACH≌△FAE(SAS),
∴HA=EF,
∴EF=2AD.
【知识点】
倍长中线模型；SAS全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是倍长中线模型的典型应用，通过倍长中线构造全等三角形，可将分散的边、角条件集中，实现线段的倍分转化，是解决中线相关的线段倍分问题的常用方法，需要熟练掌握该辅助线的作法。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 按照提示的倍长中线思路解题：首先利用D是BC中点得到BD=CD，结合构造的DE=AD和对顶角相等，用SAS证明△ADC≌△EDB，将AC转化为等长的BE，此时AB、BE、长度为2AD的AE都在△ABE中，根据三角形三边关系列不等式，即可求出AD的取值范围。
(2) 类比第一问的倍长思路，本题中D是EC的中点，因此延长AD到M使MD=AD，连接EM，先证△ADC≌△MDE，得到AC=ME、∠DAC=∠M；再结合EF=AC推出EF=ME，由等边对等角得∠EFM=∠M；最后根据EF//AB的性质得∠EFM=∠BAD，等量代换即可证明∠BAD=∠DAC，即AD平分∠BAC。
【解析】
(1) 解：在△ABC中，AB=9，AC=5，D是BC的中点，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ADC=∠EDB, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴BE=AC=5。
在△ABE中，根据三角形三边关系可得$AB-BE＜AE＜AB+BE$，
代入数值得$9-5＜2AD＜9+5$，解得$2＜AD＜7$。
(2) 证明：延长AD到点M，使MD=AD，连接EM，如答图。

在△ADC和△MDE中，
$\begin{cases} AD=MD, \\ ∠ADC=∠MDE, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴△ADC≌△MDE(SAS)，
∴∠DAC=∠M，AC=ME。
∵EF=AC，
∴EF=ME，
∴∠EFM=∠M。
∵EF//AB，
∴∠EFM=∠BAD，
∴∠DAC=∠BAD，
∴AD平分∠BAC。
【答案】
(1) $2＜AD＜7$
(2) 证明成立，辅助线如下图：

【知识点】
全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、平行线的性质
【点评】
本题重点考查倍长中线构造全等三角形的辅助线作法，通过构造全等实现线段和角的转化，将分散的条件整合到同一三角形中解决问题，是几何中非常典型的转化思路，需要熟练掌握该类辅助线的应用场景。
【难度系数】
0.6