【分析】
(1)①要证明$△ AFC≌△ BOC$，先利用等边三角形的性质得到两组对应边相等，再通过两个60°角减去公共角得到对应夹角相等，即可用SAS判定全等。
②要证明$BD=CF$，先由①的全等得到角的度数，结合$FD=FA$判定$△ FDA$是等边三角形，再推导新的一组角相等，证明$△ FCA≌△ DBA$，即可得到对应边相等的结论。
(2)判断$AO$与$GO$的数量关系时，遇到中点可采用倍长中线法构造全等三角形：延长$OG$到$R$使$GR=GO$，先证$△ CGO≌△ BGR$实现边和角的转换，再结合已知全等的结论证明$△ AFO≌△ OBR$，即可得到线段的倍数关系。
【解析】
(1) ①证明:
$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore CA=CB$,$∠ ACB=60°$.
$\because △ COF$是等边三角形,
$\therefore CF=CO$,$∠ FCO=60°$,
$\therefore ∠ ACB-∠ ACO=∠ FCO-∠ ACO$,
即$∠ OCB=∠ FCA$.
在$△ AFC$和$△ BOC$中,
$\begin{cases} CF=CO, \\ ∠ FCA=∠ OCB, \\ CA=CB, \end{cases}$
$\therefore △ AFC≌△ BOC(\mathrm{SAS})$.
②由①知$△ AFC≌△ BOC$,
$\therefore ∠ COB=∠ AFC=120°$,
$\therefore ∠ AFB=120°-60°=60°$.
$\because AF=DF$,$∠ AFB=60°$,
$\therefore △ FDA$是等边三角形,
$\therefore FA=DA$,$∠ FAD=60°$.
$\because ∠ CAB=60°$,
$\therefore ∠ FAD-∠ CAD=∠ CAB-∠ CAD$,
即$∠ FAC=∠ DAB$.
在$△ FCA$与$△ DBA$中,
$\begin{cases} FA=DA, \\ ∠ FAC=∠ DAB, \\ AC=AB, \end{cases}$
$\therefore △ FCA≌△ DBA(\mathrm{SAS})$,
$\therefore CF=BD$.
(2) 解:$AO=2OG$.
理由:如答图,延长$OG$到点$R$,使得$GR=GO$,连接$BR$.
$\because G$是$BC$的中点,
$\therefore GC=GB$.
在$△ CGO$和$△ BGR$中,
$\begin{cases} GC=GB, \\ ∠ CGO=∠ BGR, \\ GO=GR, \end{cases}$
$\therefore △ CGO≌△ BGR(\mathrm{SAS})$,
$\therefore CO=BR=OF$,$∠ GCO=∠ GBR$,
$\therefore CO// BR$.
$\because △ FCA≌△ OCB$,
$\therefore AF=BO$,$∠ AFC=∠ BOC=120°$.
$\because ∠ CFO=∠ COF=60°$,
$\therefore ∠ AFO=∠ COF=60°$,
$\therefore AF// CO$,
$\therefore AF// BR$,
$\therefore ∠ AFO=∠ RBO$.
在$△ AFO$和$△ OBR$中,
$\begin{cases} AF=OB, \\ ∠ AFO=∠ OBR, \\ FO=BR, \end{cases}$
$\therefore △ AFO≌△ OBR(\mathrm{SAS})$,
$\therefore OA=OR$,
$\because OR=2OG$,
$\therefore OA=2OG$.
【答案】
(1)①证明见解析；②证明见解析；
(2)$AO=2OG$，理由见解析，辅助线图如下：
【知识点】
1.等边三角形的性质与判定
2.全等三角形的判定与性质
3.倍长中线构造全等
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合应用题，既考察了基础的全等判定和等边三角形边角特性，也考察了辅助线构造的技巧，其中倍长中线法是解决中点相关线段倍数问题的常用方法，需要熟练掌握边角等量转换的逻辑。
【难度系数】
0.4
