1.(2025·淮安期末)如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻，且B,C,G三点在同一条直线上，C,D,E三点在同一条直线上，连接AE,DG,EG.若阴影部分的面积为12，则大正方形CEFG的面积与小正方形ABCD的面积之差为 (
C
)
A.12
B.18
C.24
D.30
答案：1.C 点拨:设大正方形 CEFG 的边长为 a,小正方形ABCD 的边长为 b,
∵ S阴影 = S△ADE + S△GDE = 1/2 b(a - b)+1/2 a(a-b)=1/2(a+b)(a-b)=1/2(a²-b²)=12,
∴a²-b²=24,即大正方形 CEFG 的面积与小正方形ABCD 的面积之差为 24.
解析：
【分析】
解题时我们先通过设边长的方式，把大、小正方形的面积差转化为边长平方的差，再结合阴影部分的构成分析：阴影部分由△ADE和△GDE两个三角形组成，我们分别找到两个三角形的底和高，用含边长的式子表示出两个三角形的面积，相加等于已知的阴影面积，再对式子化简，就能推导出面积差和阴影面积的关系，最终求出结果。
【解析】
设大正方形CEFG的边长为$a$，小正方形ABCD的边长为$b$。
由图形可得：
△ADE的底$AD=b$，高$DE=CE-CD=a-b$，因此$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AD × DE=\frac{1}{2}b(a-b)$；
△GDE的底$DE=a-b$，高为大正方形的边长$a$，因此$S_{△ GDE}=\frac{1}{2} × DE × CE=\frac{1}{2}a(a-b)$。
已知阴影部分面积为12，即$S_{阴影}=S_{△ ADE}+S_{△ GDE}=12$，代入面积表达式得：
$\frac{1}{2}b(a-b)+\frac{1}{2}a(a-b)=12$
提取公因式化简得：$\frac{1}{2}(a-b)(a+b)=12$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$\frac{1}{2}(a^2-b^2)=12$
两边同乘2得：$a^2-b^2=24$，即大、小正方形的面积差为24。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，三角形面积计算，正方形的性质
【点评】
这道题是代数公式与几何面积计算结合的典型题型，解题不需要单独求出两个正方形的面积，只要准确表示出阴影部分两个三角形的面积，再利用平方差公式整体化简，就能快速得到结果，很好地考查了数形结合和整体代换的思想。
【难度系数】
0.6
2.(2025·竞秀区期中)某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”.
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有
①③
；(填序号)
(2)【应用】利用“平方差公式”计算：$2026^2 - 2022×2030$；
(3)【拓展】计算：$(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})×(1+\frac{1}{2^{16}})×(1+\frac{1}{2^{32}})$.
答案：2.(1)①③
(2)解:原式=2026²-(2026-4)(2026+4)=2026²-(2026²-4²)=2026²-2026²+4²=16.
(3)解:原式=2×(1-1/2)×(1+1/2)×(1+1/2²)×(1+1/2⁴)×(1+1/2⁸)×(1+1/2¹⁶)×(1+1/2³²)=2×(1-1/2)(1+1/2)(1+1/2²)(1+1/2⁴)(1+1/2⁸)(1+1/2¹⁶)(1+1/2³²)=2×(1-1/2²)(1+1/2²)(1+1/2⁴)(1+1/2⁸)(1+1/2¹⁶)(1+1/2³²)=2×(1-1/2⁴)(1+1/2⁴)(1+1/2⁸)(1+1/2¹⁶)(1+1/2³²)=2×(1-1/2⁸)(1+1/2⁸)(1+1/2¹⁶)(1+1/2³²)=2×(1-1/2¹⁶)×(1+1/2¹⁶)(1+1/2³²)=2×(1-1/2³²)(1+1/2³²)=2×(1-1/2⁶⁴)=2-1/2⁶³.
解析：
【分析】
(1) 平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，验证时只需判断图形阴影部分面积是否既能表示为$a^2-b^2$，又能表示为$(a+b)(a-b)$即可：
①阴影部分面积为大正方形减小正方形，即$a^2-b^2$，拼接后的平行四边形底为$a+b$，高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，可验证公式；
②拼接后正方形面积为$(a-b)^2$，与$a^2-b^2$不相等，不能验证；
③阴影部分面积为$a^2-b^2$，拼接后的平行四边形底为$a+b$，高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，可验证公式；
④拼接后长方形面积为$b(a+b)$，与$a^2-b^2$不相等，不能验证。因此选①③。
(2) 观察式子结构，$2022=2026-4$，$2030=2026+4$，可将$2022×2030$转化为平方差公式的形式，代入化简即可计算。
(3) 式子为多个含$1+\frac{1}{2^{2^n}}$的因式相乘，可先在原式前乘$2×(1-\frac{1}{2})$（该式值为1，不改变原式大小），构造出平方差公式的结构，连续套用平方差公式逐步化简即可得到结果。
【解析】
(1) 综上分析，能够验证平方差公式的是①③；
(2) $\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2026^2-(2026-4)(2026+4)\\&=2026^2-(2026^2-4^2)\\&=2026^2-2026^2+16\\&=16\end{aligned}$
(3) $\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})×(1+\frac{1}{2^{16}})×(1+\frac{1}{2^{32}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})×(1+\frac{1}{2^{16}})×(1+\frac{1}{2^{32}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})×(1+\frac{1}{2^{16}})×(1+\frac{1}{2^{32}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^8})×(1+\frac{1}{2^8})×(1+\frac{1}{2^{16}})×(1+\frac{1}{2^{32}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^{16}})×(1+\frac{1}{2^{16}})×(1+\frac{1}{2^{32}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^{32}})×(1+\frac{1}{2^{32}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^{64}})\\&=2-\frac{1}{2^{63}}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$；(2) $\boldsymbol{16}$；(3) $\boldsymbol{2-\dfrac{1}{2^{63}}}$
【知识点】
1. 平方差公式的几何验证
2. 平方差公式简便计算
3. 构造法套用平方差公式
【点评】
本题以平方差公式为核心，分别从几何意义、基础应用、拓展巧算三个维度进行考查，既要求理解平方差公式的本质，也要求能灵活识别公式结构、构造公式简化计算，掌握平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.65
