三、解答题(共54分)
19.(6分)(2025·陕西)如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=AB，DE//AB，DE=BC.求证:BE=AC.
答案：19.证明:
∵D是BC延长线上一点,DE//AB,
∴∠D=∠ABC.
在△BDE和△ABC中,$\begin{cases} BD=AB, \\ ∠D=∠ABC, \\ DE=BC, \end{cases}$
∴△BDE≌△ABC(SAS),
∴BE=AC.
20.(6分)如图，点C在线段BD上，在$△ ABC$和$△ DEC$中，$∠ A=∠ D$，$AB=DE$，$∠ B=∠ E$。求证：$AC=DC$。
答案：20.证明:在△ABC和△DEC中,
$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ AB=DE, \\ ∠B=∠E, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEC(ASA),
∴AC=DC.
21.(6分)如图,点C在线段AB上,CF平分∠DCE,AD//EB,∠ADC=∠BCE,AD=BC.
求证:DF=EF.
答案：21.证明:
∵AD//BE,
∴∠DAC=∠CBE.
在△ACD和△BEC中,$\begin{cases} ∠ADC=∠BCE, \\ AD=BC, \\ ∠DAC=∠CBE, \end{cases}$
∴△ACD≌△BEC,
∴DC=CE.
∵CF平分∠DCE,
∴∠DCF=∠ECF.
在△DCF和△ECF中,$\begin{cases} DC=EC, \\ ∠DCF=∠ECF, \\ CF=CF, \end{cases}$
∴△DCF≌△ECF(SAS),
∴DF=EF.
22.(8分)如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，DE=DF，连接AD。
求证:(1)∠FAD=∠EAD；
(2)BD=CD。
答案：22.证明:(1)
∵BE⊥AC,CF⊥AB,DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分线,
∴∠FAD=∠EAD.
(2)
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠DEA=∠DFA=90°.
在Rt△ADF和Rt△ADE中,$\begin{cases} AD=AD, \\ DF=DE, \end{cases}$
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),
∴∠ADF=∠ADE.
∵∠BDF=∠CDE,
∴∠ADF+∠BDF=∠ADE+∠CDE,即∠ADB=∠ADC.
在△ABD和△ACD中,$\begin{cases} ∠BAD=∠CAD, \\ AD=AD, \\ ∠ADB=∠ADC, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACD(ASA),
∴BD=CD.
