三、解答题(共64分)
19.(6分)如图，$∠ BAC=90°$，$AD$是$∠ BAC$内部的一条射线，$AB=AC$，$BE⊥ AD$于点$E$，$CF⊥ AD$于点$F$，求证：$AF=BE$.
答案：19. 证明:$\because ∠ BAC=90°, \therefore ∠ BAE+∠ FAC=90°.$
$\because BE⊥ AD,CF⊥ AD, \therefore ∠ BEA=∠ AFC=90°,$
$\therefore ∠ BAE+∠ EBA=90°, \therefore ∠ EBA=∠ FAC.$
在$△ ACF$和$△ BAE$中,$\begin{cases}∠ AFC=∠ BEA,\\∠ FAC=∠ EBA,\\AC=BA,\end{cases}$
$\therefore △ ACF≌△ BAE(\mathrm{AAS}), \therefore AF=BE.$
20.(6分)如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE.若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数.
答案：20. 解:$\because BE$是$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ DBE=∠ CBE=\frac{1}{2}∠ ABC.$
$\because DB=DE, \therefore ∠ DBE=∠ DEB,$
$\therefore ∠ DEB=∠ CBE, \therefore DE// BC, \therefore ∠ C=∠ AED=45°.$
在$△ ABC$中,$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°,$
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-65°-45°=70°,$
$\therefore ∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC=35°.$
21.(8分)(1)已知$5x^2 - x - 1 = 0$，求代数式$(3x+2)(3x-2)+x(x-2)$的值；
(2)先化简，再求值：$(x - 1 - \dfrac{x^2}{x+1}) ÷ \dfrac{x}{x^2 + 2x + 1}$，其中$x=3$。
答案：21. (1)解:原式$=9x^2-4+x^2-2x=10x^2-2x-4.$
$\because 5x^2-x-1=0, \therefore 5x^2-x=1,$
$\therefore$ 原式$=2(5x^2-x)-4=2-4=-2.$
(2)原式$=\frac{x^2-1-x^2}{x+1}÷\frac{x}{(x+1)^2}$
$=\frac{-1}{x+1}·\frac{(x+1)^2}{x}$
$=\frac{-x-1}{x}.$
当$x=3$时,原式$=-\frac{4}{3}.$
22.(6分)在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上(格点是网格线的交点)。
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；
(2)将△A₁B₁C₁向下平移4个单位长度得到△A₂B₂C₂，画出△A₂B₂C₂；
(3)若△ABC内有一点P(a,b)，则经过上述两种图形变换后的对应点P₂的坐标是
$(-a,b-4)$
。
答案：22. (1)解:如答图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
(2)解:如答图,$△ A_2B_2C_2$即为所求.
(3)$(-a,b-4)$
23.(6分)某天小明打算和朋友乘出租车去某电影院看电影,有两条路线可供选择:路线一的全程是25千米,但交通比较拥堵;路线二的全程是30千米,平均速度比走路线一时的平均速度能提高80%,比走路线一少用10分钟到达.求小明走路线一时的平均速度.
答案：23. 解:设小明走路线一时的平均速度是$x$千米/时,则小明走路线二时的平均速度是$x(1+80\%)$千米/时,
根据题意,得$\frac{25}{x}=\frac{30}{(1+80\%)x}+\frac{10}{60},$
化简,得$\frac{25}{x}=\frac{50}{3x}+\frac{1}{6},$
方程两边乘$6x$,得$150=100+x$,解得$x=50.$
检验:当$x=50$时,$6x≠0,$
所以原分式方程的解为$x=50.$
答:小明走路线一时的平均速度是50千米/时.
