边BC（图13.3-2）. 由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于$180°$”这个结论.
已知：$△ ABC$（图13.3-2）.
求证：$∠ A+∠ B+∠ C=180°$.
证明：如图13.3-2，过点A作直线$l$，使$l// BC$.
$\because \ l// BC,$
$\therefore \ ∠2=∠4$（两直线平行，内错角相等）.
同理 $∠3=∠5$.
$\because \ ∠1,∠4,∠5$组成平角，
$\therefore \ ∠1+∠4+∠5=180°$（平角定义）.
$\therefore \ ∠1+∠2+∠3=180°$（等量代换）.
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于$180°$，得到如下三角形的内角和定理：
三角形的内角和等于$180°$.
答案：证明：延长BC至点D，过点C作直线$CE// AB$。
$\because CE// AB$，
$\therefore ∠A=∠ACE$（两直线平行，内错角相等），
$∠B=∠DCE$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠A+∠B+∠ACB=180°$（等量代换），
即$∠A+∠B+∠C=180°$。
例1 如图13.3-3，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB的度数。
解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=20°$。
在△ABD中，
$∠ ADB=180°-∠ B-∠ BAD=180°-75°-20°=85°$。
答案：解：
由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=20°.$
在△ABD中，根据三角形内角和定理，
$∠ ADB=180°-∠ B-∠ BAD=180°-75°-20°=85°.$
例2 图13.3-4是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东$50°$方向，B岛在A岛的北偏东$80°$方向，C岛在B岛的北偏西$40°$方向. 从B岛看A，C两岛的视角$∠ ABC$是多少度？从C岛看A，B两岛的视角$∠ ACB$呢？
分析：A，B，C三岛的连线构成$△ ABC$，所求的$∠ ACB$是$△ ABC$的一个内角. 如果能求出$∠ CAB$，$∠ ABC$，就能求出$∠ ACB$.
12 第十三章 三角形
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答案：解：
由题意得，AD//BE，
∠DAC=50°，∠DAB=80°，∠EBC=40°。
∴ ∠CAB = ∠DAB - ∠DAC = 80° - 50° = 30°。
∵ AD//BE，
∴ ∠DAB + ∠ABE = 180°，
∴ ∠ABE = 180° - ∠DAB = 180° - 80° = 100°，
∴ ∠ABC = ∠ABE - ∠EBC = 100° - 40° = 60°。
在△ABC中，
∠ACB = 180° - ∠CAB - ∠ABC = 180° - 30° - 60° = 90°。
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°。
