人民教育出版社
数学活动
活动1 个位数字是5的两位数平方的规律
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
$15×15=225=1×2×100+25$，
$25×25=625=2×3×100+25$，
$35×35=1225=3×4×100+25$，
……
你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？
活动2 利用因式分解生成密码
人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码. 例如多项式$x^2y-4y$，将其分解因式为$y(x+2)(x-2)$. 若取$x=15$，$y=12$，则有$y=12$，$x+2=17$，$x-2=13$，其中12，17，13分别为因式码. 将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317. 当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码.
（1）已知多项式$16p^4-q^4$，当取$p=10$，$q=5$时，用上述方法生成的密码是什么？
（2）已知多项式$16p^4-q^4$，当$p$，$q$分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？
（3）自己写一个多项式，并用上述方法生成密码.
答案：解：
活动1
规律：设个位数字是5的两位数的十位数字为$n$（$n$为1~9的正整数），则该两位数的平方满足：
$(10n+5)^2 = 100n(n+1) + 25$
证明：
$\begin{aligned}左边&=(10n+5)^2\\&=100n^2 + 100n + 25\\&=100n(n+1) + 25\\&=右边\end{aligned}$
故上述规律成立。
活动2
（1）先对多项式因式分解：
$\begin{aligned}16p^4 - q^4&=(4p^2)^2 - (q^2)^2\\&=(4p^2 - q^2)(4p^2 + q^2)\\&=(2p - q)(2p + q)(4p^2 + q^2)\end{aligned}$
当$p=10$，$q=5$时：
$2p - q = 2×10 - 5 = 15$
$2p + q = 2×10 + 5 = 25$
$4p^2 + q^2 = 4×10^2 + 5^2 = 425$
将三个因式码从小到大排列，生成的密码为1525425。
（2）由因式分解结果可知，$2p+q ＞ 2p - q$，且$4p^2+q^2$是三个因式中最大的因式。
已知前两个因式码为5，15，可得方程组：
$\begin{cases}2p - q = 5\\2p + q = 15\end{cases}$
两式相加得$4p=20$，解得$p=5$，代入得$q=5$。
计算第三个因式码：$4p^2 + q^2 = 4×5^2 + 5^2 = 125$，即第三个因式码为125。
（3）示例：选取多项式$a^3 - a$，因式分解得：
$a^3 - a = a(a^2 - 1) = a(a-1)(a+1)$
取正整数$a=10$，得到三个因式码分别为：
$a-1=9$，$a=10$，$a+1=11$
将因式码从小到大排列，生成密码为91011。
