例3 填空：
(1) $\frac{x^3}{x^2 y} = \frac{(\quad)}{y}$；
(2) $\frac{3x^2 + 3xy}{6x^2} = \frac{x + y}{(\quad)}$；
(3) $\frac{1}{ab} = \frac{(\quad)}{a^2 b}$；
(4) $\frac{2a - b}{a^2} = \frac{(\quad)}{a^2 b}$（$b ≠ 0$）.
分析：观察等式，从左边到右边，分母（或分子）是如何变化的. 为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子（或分母）也应做同样的变化. 对于（1），分母$x^2 y$除以$x^2$化为$y$，因此分子也需要除以$x^2$；对于（2），分子除以$3x$化为$x + y$，因此分母也需要除以$3x$.
解：（1）因为$\frac{x^3}{x^2 y} = \frac{x^3 ÷ x^2}{x^2 y ÷ x^2} = \frac{x}{y}$，所以括号中应填$x$；
（2）因为$\frac{3x^2 + 3xy}{6x^2} = \frac{(3x^2 + 3xy) ÷ (3x)}{6x^2 ÷ (3x)} = \frac{x + y}{2x}$，所以括号中应填$2x$；
（3）因为$\frac{1}{ab} = \frac{1 · a}{ab · a} = \frac{a}{a^2 b}$，所以括号中应填$a$；
（4）因为$\frac{2a - b}{a^2} = \frac{(2a - b) · b}{a^2 · b} = \frac{2ab - b^2}{a^2 b}$，所以括号中应填$2ab - b^2$.
答案：解：
(1) 由分式的基本性质，将分式的分子、分母同时除以$x^2$，得
$\frac{x^3}{x^2 y}=\frac{x^3 ÷ x^2}{x^2 y ÷ x^2}=\frac{x}{y}$，
所以括号中应填$x$；
(2) 由分式的基本性质，将分式的分子、分母同时除以$3x$，得
$\frac{3x^2 + 3xy}{6x^2}=\frac{(3x^2 + 3xy) ÷ 3x}{6x^2 ÷ 3x}=\frac{x + y}{2x}$，
所以括号中应填$2x$；
(3) 由分式的基本性质，将分式的分子、分母同时乘$a$，得
$\frac{1}{ab}=\frac{1 · a}{ab · a}=\frac{a}{a^2 b}$，
所以括号中应填$a$；
(4) 由分式的基本性质，$b≠0$，将分式的分子、分母同时乘$b$，得
$\frac{2a - b}{a^2}=\frac{(2a - b) · b}{a^2 · b}=\frac{2ab - b^2}{a^2 b}$，
所以括号中应填$2ab - b^2$。
1. 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
（1）$\frac{a^2}{b}=\frac{a^2x}{bx}$（$x≠0$）；
（2）$\frac{(x-y)^2}{x^2-y^2}=\frac{x-y}{x+y}$。
答案： (1) 分式$\frac{a^2}{b}$的分子与分母乘同一个不等于0的整式$x$，分式的值不变，即$\frac{a^2}{b}=\frac{a^2 · x}{b · x}=\frac{a^2x}{bx}$。
(2) 分式$\frac{(x-y)^2}{x^2-y^2}$的分子与分母除以同一个不等于0的整式$x-y$，分式的值不变，即$\frac{(x-y)^2}{x^2-y^2}=\frac{(x-y)^2 ÷ (x-y)}{(x^2-y^2) ÷ (x-y)}=\frac{x-y}{x+y}$。
2. 填空：
(1) $\frac{ab}{b^2}=\frac{a}{(\quad)}$；
(2) $\frac{a^2+a}{ac}=\frac{(\quad)}{c}$；
(3) $\frac{y}{x}=\frac{(\quad)}{x^2}$；
(4) $\frac{1}{xy}=\frac{(\quad)}{2xy^2}$；
第十八章 分式 141
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答案： (1) b (2) a+1 (3) xy (4) 2y
