例2 计算：
(1) $\frac{a^2 -4a +4}{a^2 -2a +1} · \frac{a -1}{a^2 -4}$；
(2) $\frac{1}{49 -m^2} ÷ \frac{1}{m^2 -7m}$。
解：(1) $\frac{a^2 -4a +4}{a^2 -2a +1} · \frac{a -1}{a^2 -4}$
$=\frac{(a -2)^2}{(a -1)^2} · \frac{a -1}{(a -2)(a +2)}$
$=\frac{(a -2)^2(a -1)}{(a -1)^2(a -2)(a +2)}$
$=\frac{a -2}{(a -1)(a +2)}$；
(2) $\frac{1}{49 -m^2} ÷ \frac{1}{m^2 -7m} = -\frac{1}{m^2 -49} · (m^2 -7m)$
$= -\frac{m(m -7)}{(m +7)(m -7)}$
$= -\frac{m}{m +7}$。
答案：解：(1)
$\begin{aligned}\frac{a^2 -4a +4}{a^2 -2a +1} · \frac{a -1}{a^2 -4}&=\frac{(a-2)^2}{(a-1)^2} · \frac{a-1}{(a-2)(a+2)}\\&=\frac{(a-2)^2(a-1)}{(a-1)^2(a-2)(a+2)}\\&=\frac{a-2}{(a-1)(a+2)}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{1}{49 -m^2} ÷ \frac{1}{m^2 -7m}&=\frac{1}{49-m^2} · (m^2-7m)\\&=\frac{1}{(7-m)(7+m)} · m(m-7)\\&=-\frac{m(m-7)}{(m-7)(m+7)}\\&=-\frac{m}{m+7}\end{aligned}$
例3 如图18.2-1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为$a$ m ($a＞1$)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为$(a-1)$ m的正方形，两块试验田都收获了500 kg小麦.
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
答案：解：
（1）“丰收1号”试验田的面积为$(a^2 - 1)\ \mathrm{m}^2$，单位面积产量为$\frac{500}{a^2 - 1}\ \mathrm{kg/m}^2$。
“丰收2号”试验田的面积为$(a-1)^2\ \mathrm{m}^2$，单位面积产量为$\frac{500}{(a-1)^2}\ \mathrm{kg/m}^2$。
$\because a＞1$，
$\therefore (a-1)^2 - (a^2 -1) = a^2 - 2a +1 -a^2 +1 = -2(a-1) ＜ 0$，
即$0＜(a-1)^2 ＜ a^2 -1$，
分子为相同正数时，分母越小分数值越大，
$\therefore \frac{500}{(a-1)^2} ＞ \frac{500}{a^2 -1}$，
因此“丰收2号”小麦的单位面积产量高。
（2）计算高的单位面积产量是低的倍数：
$\frac{500}{(a-1)^2} ÷ \frac{500}{a^2 -1}$
$= \frac{500}{(a-1)^2} · \frac{(a+1)(a-1)}{500}$
$= \frac{a+1}{a-1}$
答：（1）“丰收2号”小麦的单位面积产量高；（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a+1}{a-1}$倍。
