例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？
分析：甲队1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，设乙队单独施工1个月能完成总工程的$\frac{1}{x}$，那么甲队一个半月的施工量与乙队半个月的施工量的和等于总工程量. 由此列方程，进而求出$x$，就可以比较甲、乙两队的施工速度.
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的$\frac{1}{x}$. 记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2x}=1.$
方程两边乘$6x$，得
$2x+x+3=6x.$
解得
$x=1.$
检验：当$x=1$时，$6x≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=1$.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成总工程，对比甲队1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，可知乙队的施工速度快.
答案：解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的$\frac{1}{x}$，记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2x}=1$
方程两边乘$6x$，得
$2x+x+3=6x$
解得
$x=1$
检验：当$x=1$时，$6x≠0$，所以原分式方程的解为$x=1$。
由此可知，乙队单独施工1个月可以完成总工程，对比甲队1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，可得乙队的施工速度更快。
答：乙队的施工速度快。
例4 某次列车平均提速v km/h. 在相同的时间内，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前列车行驶s km所用时间等于提速后列车运行$(s+50)\ \mathrm{km}$所用时间. 由此列方程，进而求出x.
答案：解：设提速前列车的平均速度为$x\ \mathrm{km/h}$。
根据两车行驶时间相等列方程：
$\frac{s}{x}=\frac{s+50}{x+v}$
方程两边同乘$x(x+v)$，得：
$s(x+v)=x(s+50)$
去括号：
$sx + sv = sx + 50x$
移项、合并同类项：
$50x=sv$
系数化为1：
$x=\frac{sv}{50}$
检验：由题意可知$v＞0$，$s＞0$，因此$x=\frac{sv}{50}＞0$，代入$x(x+v)$得$\frac{sv}{50}(\frac{sv}{50}+v)≠0$，所以$x=\frac{sv}{50}$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：提速前列车的平均速度为$\frac{sv}{50}\ \mathrm{km/h}$。
