答案：解：
1. 计算填表
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2+\frac{1}{x^2}$ | $\frac{82}{9}$ | $\frac{17}{4}$ | $2$ | $\frac{17}{4}$ | $\frac{82}{9}$ | $\frac{82}{9}$ | $\frac{17}{4}$ | $2$ | $\frac{17}{4}$ | $\frac{82}{9}$ |
2. 提出猜想
猜想1：对任意不为0的实数$x$，$x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$，当且仅当$x=\pm1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}$取得最小值2。
猜想2：若两个非零实数互为相反数或互为倒数，它们对应的$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等。
3. 证明猜想
根据完全平方的非负性：对任意实数$a$，都有$a^2\ge0$。
令$a=x-\frac{1}{x}$（$x\ne0$），则：
$(x-\frac{1}{x})^2\ge0$
展开左边得：
$x^2 - 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\ge0$
化简得：
$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}\ge0$
移项可得：
$x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$
当且仅当$x-\frac{1}{x}=0$，即$x^2=1$，$x=\pm1$时等号成立，猜想1得证。
对于猜想2：
将$x$替换为$-x$，可得$(-x)^2+\frac{1}{(-x)^2}=x^2+\frac{1}{x^2}$，值不变；
将$x$替换为$\frac{1}{x}$，可得$(\frac{1}{x})^2+\frac{1}{(\frac{1}{x})^2}=\frac{1}{x^2}+x^2$，值不变。
因此互为相反数、互为倒数的非零实数对应的$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等，猜想2得证。