活动三 造桥选址问题
任务1 如图8，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
提示：可以把河的两岸看成两条平行线，由于河宽固定，所以可以考虑将点A（或B）按与河岸垂直的方向平移河宽的距离，使问题转化为可以利用“两点之间，线段最短”解决的问题.
任务2 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
答案：解：
任务1
作法：
1. 设河的两条平行河岸分别为$l_1$（靠近A侧）、$l_2$（靠近B侧），过点$A$作$AA'⊥ l_1$，使线段$AA'$的长度等于河的宽度；
2. 连接$A'B$，交直线$l_2$于点$N$；
3. 过点$N$作$MN⊥ l_2$，交直线$l_1$于点$M$，则$MN$即为所求造桥的位置。
证明：
由作图可知 $AA'// MN$，且$AA'=MN$，
$\therefore$ 四边形$AMNA'$是平行四边形，
$\therefore AM = A'N$。
路径$AMNB$的总长度为 $AM + MN + NB = A'N + NB + MN$。
因为河宽$MN$是定值，要使总路径最短，只需$A'N + NB$的长度最小。
根据“两点之间，线段最短”，当$A'$、$N$、$B$三点共线时，$A'N+NB$取得最小值，此时路径$AMNB$最短。
任务2
实例：A、B两个村庄分别在一条宽度固定的平行公路的两侧，要在公路上修建一座垂直于公路的人行天桥，使从A村到B村的通行路径最短。
解决方法：
1. 过点A作$AA'$垂直于公路边缘，使$AA'$的长度等于公路的宽度；
2. 连接$A'B$，交靠近B侧的公路边缘于点$N$；
3. 过点$N$作$MN⊥$公路边缘，交靠近A侧的公路边缘于点$M$，则$MN$就是人行天桥的修建位置。
由平移性质可得$AM=A'N$，路径总长度为$A'N+NB+MN$，结合两点之间线段最短，可证此时路径$AMNB$总长度最短。
