18.5 分式方程
为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程
$\frac{90}{30+v}=\frac{60}{30-v}. \qquad \textcircled{1}$
区分分式方程与整式方程的依据.
方程①的分母中含有未知数，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程（fractional equation）. 我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.
＜思考＞
如何解分式方程①呢？
注意! ①判断一个方程是否为分式方程时，不能对其约分、通分，更不能利用等式的性质对其变形；
②分母中含字母的方程不一定是分式方程，如$\frac{x}{a}+1=2x$（$a$为非0常数）的分母中虽然含字母，但是字母$a$是常数，而不是未知数，所以该方程是整式方程，不是分式方程.
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中含未知数，因此解分式方程是一个新的问题. 能否将分式方程化为整式方程呢？我们自然会想到通过“去分母”实现这种转变.
分式方程①中各分母的最简公分母是$(30+v)(30-v)$. 把方程①的两边乘最简公分母可化为整式方程，得
$90(30-v)=60(30+v).$
解得
$v=6.$
检验：将$v=6$代入①中，左边$=\frac{5}{2}$，右边$=\frac{5}{2}$，这时左、右两边的值相等，因此$v=6$是分式方程①的解.
由此可知，江水的流速为$6\ \mathrm{km/h}$.
将方程①化成整式方程的关键步骤是什么？
去分母.
将所得的解代入原方程的左、右两边，若左、右两边的结果相等，则说明所得的解是原方程的解；反之，则不是.
＜探究＞
运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程
$\frac{1}{x-5}=\frac{10}{x^2-25}, \qquad \textcircled{2}$
你发现了什么问题？
类似于解分式方程①，在分式方程②的两边乘最简公分母$(x-5)(x+5)$，去分母得整式方程
$x+5=10.$
解得
$x=5.$
将$x=5$代入②，分母$x-5$和$x^2-25$的值都为0，相应的分式无意义. 因此，$x=5$虽然是整式方程$x+5=10$的解，但不是分式方程$\frac{1}{x-5}=\frac{10}{x^2-25}$的解. 实际上，这个分式方程无解.
＜图2＞
比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）. 方程①两边乘$(30+v)(30-v)$，得到整式方程，它的解为$v=6$. 当$v=6$时，最简公分母$(30+v)(30-v)≠0$，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.
方程②两边乘$(x-5)(x+5)$，得到整式方程，它的解为$x=5$. 当$x=5$时，最简公分母$(x-5)(x+5)=0$，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解.
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.