1. 如图，在直线MN上求作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等.
→点P在∠AOB的平分线上.
解：作法：如图.
（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D.
（2）分别以点C，D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点E.
（3）作射线OE交直线MN于点P，P即为所求作的点.

证明：∵ OC是∠AOB的平分线，$PD⊥OA$，$PE⊥OB$，
∴ $PD=PE$，$∠PDF=∠PEG=90°$
在$△ PDF$和$△ PEG$中，$\{\begin{array}{l}PD=PE,\\∠PDF=∠PEG,\\DF=EG,\end{array} $
∴ $△ PDF≌△ PEG$（SAS）.
∴ $PF=PG$.
2. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，$PD⊥OA$，$PE⊥OB$，垂足分别为D，E. 点F，G分别在OA，OB上，$DF=EG$，连接PF，PG. 求证$PF=PG$.
→先根据角的平分线的性质得到$PD=PE$，再证明$△ PDF≌△ PEG$，从而得出$PF=PG$.
我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等. 反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？
如图，P为射线OC上一点，$PD⊥OA$，$PE⊥OB$，垂足分别为D，E，且$PD=PE$.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：∵ $PD⊥OA$，$PE⊥OB$，∴ $∠ODP=∠OEP=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ ODP$和$\mathrm{Rt}△ OEP$中，$\{\begin{array}{l}OP=OP,\\PD=PE,\end{array} $
通过判定两个三角形全等，可以得到：∴ $\mathrm{Rt}△ ODP≌\mathrm{Rt}△ OEP$（HL）.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. ∴ $∠DOP=∠EOP$，即$∠AOC=∠BOC$.
按照证明命题的步骤，从上面两个结论可以看出，角的平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 所以在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.

例 如图14.3-6，$△ ABC$的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：
（1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等；
（2）$△ ABC$的三条角平分线交于一点.

图14.3-6
分析：（1）由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等；（2）要证$△ ABC$的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上.
证明：（1）过点P作$PD⊥AB$，$PE⊥BC$，$PF⊥CA$，垂足分别为D，E，F.
∵ BM是$△ ABC$的角平分线，点P在BM上，
∴ $PD=PE$.
同理 $PE=PF$.
∴ $PD=PE=PF$.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
（2）由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等，
∴ 点P在∠A的平分线上.
∴ $△ ABC$的三条角平分线交于一点.
知识链接 三角形的三条角平分线的交点叫作三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等.
证明：∵ $AB⊥CD$，$CE⊥AD$，
∴ $∠ABD=∠CED=90°$.
在$△ ABD$和$△ CED$中，$\{\begin{array}{l}∠ADB=∠CDE,\\∠ABD=∠CED,\\AB=CE,\end{array} $
∴ $△ ABD≌△ CED$（AAS）.
∴ $BD=ED$.
在$\mathrm{Rt}△ FBD$和$\mathrm{Rt}△ FED$中，$\{\begin{array}{l}FD=FD,\\BD=ED,\end{array} $
∴ $\mathrm{Rt}△ FBD≌\mathrm{Rt}△ FED$（HL）.
∴ $∠BFD=∠EFD$.