例1 如图15.3-3，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$在$AC$上，$BD=BC=AD$. 求$△ ABC$各角的度数.
解：$\because AB=AC$，$BD=BC=AD$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=∠ BDC$，
$∠ A=∠ ABD$（等边对等角）.
设$∠ A=x$，则
$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x$，
从而
$∠ ABC=∠ C=∠ BDC=2x$.
于是在$△ ABC$中，有
$∠ A+∠ ABC+∠ C=x+2x+2x=180°$.
解得$x=36°$.
所以，在$△ ABC$中，$∠ A=36°$，$∠ ABC=∠ C=72°$.

图15.3-3
解：$\because AB=AD$，$\therefore ∠ B=∠ ADB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAD)=77°$.

1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AD=DC$，$∠ BAD=26°$. 求$∠ B$和$∠ C$的度数.

根据等腰三角形“等边对等角”的性质，先求出$∠ B$和$∠ ADB$的度数，进而求出$∠ C$的度数.

2. 如图，$△ ABC$ 是等腰直角三角形（$AB=AC$，$∠ BAC=90°$），$AD$ 是

底边 $BC$ 上的高. 标出 $∠ B$，$∠ C$，$∠ BAD$，$∠ DAC$ 的度数，并写出图中所有相等的线段.
$\boldsymbol{\rightarrow}$ 根据“等边对等角”分别求出四个角的度数，再根据相等的角反推出相等的线段即可.
3. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
$\boldsymbol{\rightarrow}$ 可利用“等边对等角”及“三角形的内角和等于 $180°$”证明.
证明：如图，$BD$ 是 $△ ABC$ 的边 $AC$ 上的中线，且 $BD=\dfrac{1}{2}AC$.
$\because AD=BD$，$BD=DC$，$\therefore ∠ A=∠ ABD$，$∠ DBC=∠ C$.
$\therefore ∠ ABD+∠ DBC=∠ A+∠ C=\dfrac{180°}{2}=90°$.
$\therefore ∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=90°$. $\therefore △ ABC$ 是直角三角形.

思考
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
如图 15.3-4，在 $△ ABC$ 中，$∠ B=∠ C$.
作 $△ ABC$ 的角平分线 $AD$.
在 $△ ABD$ 和 $△ ACD$ 中，
$\begin{cases}∠ 1=∠ 2, \\∠ B=∠ C, \\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD$（AAS）.
$\therefore AB=AC$.

由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的判定方法：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.