例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为$ a $，底边上高的长为$ h $（图15.3-6（1）），求作这个等腰三角形.
分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上. 由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形.
作法：如图15.3-6（2）.
（1）作线段$ AB = a $；
（2）作线段$ AB $的垂直平分线$ MN $，与$ AB $相交于点$ D $；
（3）在$ MN $上取一点$ C $，使$ DC = h $；
（4）连接$ AC $，$ BC $，则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形.

1. 如图，$∠ A=36°$，$∠ DBC=36°$，$∠ C=72°$. 分别计算$∠ 1$，$∠ 2$的度数，并说明图中有哪些等腰三角形. $\rightarrow$根据等腰三角形的性质解答.
解：$\because ∠ DBC=36°$，$∠ C=72°$，
$\therefore ∠ 1=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°$.
$\therefore ∠ 2=∠ 1-∠ A=72°-36°=36°$.
$\therefore ∠ ABC=∠ DBC+∠ 2=36°+36°=72°$.
$\therefore △ ABC$，$△ ABD$，$△ BDC$都是等腰三角形.

2. 如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
3. 如图，AC和BD相交于点O，且$AB// CD$，$OA=OB$．求证$OC=OD$．
：重合部分是一个等腰三角形．
由：如图，给图中部分特殊点标记字母、部分角标记角标．
四边形$ABCD$是长方形，$\therefore AB// CD$．$\therefore ∠ 1=∠ 4$．
把长方形$ABCD$沿$BD$折叠，$\therefore ∠ 3=∠ 4$．$\therefore ∠ 1=∠ 3$．$\therefore BE=DE$．
$△ BED$是等腰三角形，即重合部分是一个等腰三角形．
证明：$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$．
$\because OA=OB$，$\therefore ∠ A=∠ B$，
$\therefore ∠ C=∠ D$．
$\therefore OC=OD$．
第十五章 轴对称 81