【分析】
本题是反比例函数与三角尺结合的几何综合题，核心思路是利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于$k$，需要先表示出点B、C的坐标。首先结合三角尺的特殊角度（$30°$、$45°$）和平行线的性质，通过作辅助线构造直角三角形和矩形，利用直角三角形的边角关系求出各线段的长度，再设未知数表示两点坐标，根据两点对应的$k$值相等列方程求解即可。
【解析】
如图，作 $CE⊥x$ 轴于点 E，延长 DB 交 x 轴于点 F，

由题意可知，$∠ ACB=∠ BDC=90°$，$∠ BCD=30°$，$∠ CAB=∠ CBA=45°$，
∴ $AC=BC=2$，
∵ $CD// x$ 轴，
∴ $∠ DFE+∠ BDC=180°$，
∴ $∠ DFE=90°$，
∴ 四边形 CDFE 是矩形，
∴ $∠ DCE=90°$，$CE=DF$，$CD=EF$，
∵ $∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD=90°+30°=120°$，
∴ $∠ ACE=∠ ACD-∠ DCE=120°-90°=30°$，
在 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 中，$∠ ACE=30°$，$AC=2$，
∴ $AE=\frac{1}{2}AC=1$，$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴ $DF=CE=\sqrt{3}$，
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中，$∠ BCD=30°$，$BC=2$，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=1$，$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴ $BF=DF-BD=\sqrt{3}-1$，$EF=CD=\sqrt{3}$，
设 $OE=m$，则 $OF=OE+EF=m+\sqrt{3}$，
∴ 点C坐标为 $(m,\sqrt{3})$，点B坐标为 $(m+\sqrt{3},\sqrt{3}-1)$，
∵ 点B、C都在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上，
∴ $k=\sqrt{3}m=(m+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)$，
解方程：
$\sqrt{3}m = m(\sqrt{3}-1) + \sqrt{3}(\sqrt{3}-1)$
$\sqrt{3}m = \sqrt{3}m - m + 3 - \sqrt{3}$
移项得 $m=3-\sqrt{3}$，
∴ $k=\sqrt{3}m=\sqrt{3}(3-\sqrt{3})=3\sqrt{3}-3$。
【答案】
$3\sqrt{3}-3$
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.含特殊角的直角三角形 3.矩形的判定与性质
【点评】
本题为反比例函数与几何的综合题，解题的关键是通过作辅助线，结合三角尺的特殊角度、平行线性质，用含同一个未知数的式子表示出反比例函数上两个点的坐标，再根据反比例函数中$k$的不变性列方程求解，对几何识图能力和代数计算能力都有一定要求。
【难度系数】
0.3

【分析】
(1) 反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）的增减性由比例系数$m$的符号决定：若图象每一支上$y$随$x$的增大而增大，则$m＜0$。本题中$m=k-1$，据此列不等式即可求解$k$的取值范围。
(2) ① 点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将$P(2,3)$代入反比例函数解析式即可求出$k$的值，进而得到函数解析式。
② 先判断反比例函数在$x＜0$区间的增减性，再代入区间端点的$x$值求出对应$y$值，结合增减性即可得到$y$的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得，反比例函数图象每一支上$y$随$x$的增大而增大，因此比例系数小于0：
$k-1＜0$
解得：$k＜1$
(2) ① 把$P(2,3)$代入$y=\frac{k-1}{x}$，得：
$3=\frac{k-1}{2}$
解得$k=7$，
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{7-1}{x}=\frac{6}{x}$。
② 由①得$y=\frac{6}{x}$，因$6＞0$，故该函数在第三象限内$y$随$x$的增大而减小，
当$x=-3$时，$y=\frac{6}{-3}=-2$；
当$x=-1$时，$y=\frac{6}{-1}=-6$；
∴ 当$-3≤x≤-1$时，$y$的取值范围为$-6≤y≤-2$。
【答案】
(1) $k＜1$
(2) ① $y=\frac{6}{x}$；② $-6≤y≤-2$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；待定系数法求解析式；反比例函数增减性应用
【点评】
本题是反比例函数基础题，核心考查反比例函数性质与待定系数法的应用，熟练掌握比例系数和图象、增减性的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85

【分析】
(1) 先利用矩形对边平行且相等的性质，由已知A、C的坐标推导B点坐标，再根据中点的定义求出D点坐标，最后将D点坐标代入反比例函数表达式即可求出k值；
(2) 先由E在AB边上确定E点横坐标，代入反比例函数求出E点坐标，再用待定系数法求直线DE的解析式，令解析式中y=0得到F点坐标，最后根据三角形面积公式计算△AFE的面积即可。
【解析】
(1)
∵ 四边形OABC为矩形，$A(4,0)$，$C(0,2)$，
∴ B点横坐标与A点相同、纵坐标与C点相同，即$B(4,2)$。
∵ D为BC的中点，
∴ D点横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，纵坐标为2，即$D(2,2)$。
将$D(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×2=4$。
(2) 由(1)知反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$，
∵ E在AB边上，AB垂直于x轴，横坐标恒为4，
将$x=4$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=1$，
∴ $E(4,1)$。
设直线DE的解析式为$y=mx+n$，将$D(2,2)$、$E(4,1)$代入得：
$\begin{cases} 2m+n=2 \\ 4m+n=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=-\frac{1}{2} \\ n=3 \end{cases}$，即直线DE的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
令$y=0$，得$-\frac{1}{2}x+3=0$，解得$x=6$，
∴ $F(6,0)$。
∴ $AF=6-4=2$，△AFE的高为E点纵坐标1，
$S_{△AFE}=\frac{1}{2}×2×1=1$。
【答案】
(1) 点D的坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$，$k=\boldsymbol{4}$；
(2) $△ AFE$的面积为$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
矩形的性质，反比例函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是函数与平面几何结合的基础综合题，解题核心是准确求出各点坐标，熟练掌握函数和几何的基础性质即可完成解答，是巩固函数基础应用的典型习题。
【难度系数】
0.7