【分析】
(1) 求∠ABD的度数时，先结合翻折的性质，作点D关于AB的对称点E，可知E落在原劣弧AB上；再利用圆内接四边形对角互补的性质，得到∠ADB与∠C的关系，算出∠ADB的度数；接着根据等腰△ABC的底角∠C，计算出顶角∠BAC的度数；最后在△ABD中用三角形内角和即可求出∠ABD。
(2) 求⊙O半径时，先连接OA、OE，利用翻折性质得AE=AD、∠ABE=∠ABD；再根据圆周角定理算出圆心角∠AOE的度数，结合OA=OE判定△AOE为等边三角形，即可得到半径与AE的等量关系，求出半径。
【解析】
(1) 作点D关于AB的对称点E，连接AE，BE，易知点E在$\overset{\frown}{AB}$上，如图所示，
∴$∠AEB=∠ADB$，
∵四边形AEBC是⊙O的内接四边形，
∴$∠C+∠AEB=180°$，
∵$AB=AC$，$∠C=70°$，
∴$∠ABC=∠C=70°$，$∠ADB=∠AEB=180°-∠C=110°$，
∴$∠BAC=180°-2×70°=40°$，
在△ABD中，$∠ABD=180°-∠BAC-∠ADB=180°-40°-110°=30°$。

(2) 如图，连接OA，OE，
由翻折的性质可知：$AE=AD=2$，$∠ABE=∠ABD=30°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠AOE=2∠ABE=60°$，
又
∵$OA=OE$（都是⊙O的半径），
∴$△AOE$是等边三角形，
∴$OA=AE=2$，即⊙O的半径为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ABD=30°}$
(2) $\boldsymbol{⊙O的半径为2}$

【知识点】
翻折的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，解题核心是利用翻折的对称性构造辅助线，结合圆的相关性质实现角、边的转化，既考查基础知识点的掌握，也锻炼辅助线构造的思维能力。
【难度系数】
0.7